reeller parameter?
Ich muss folgende Ungleichung lösen: √(2x-1)-√(x/p) >=0 In Abhängigkeit vom reellen Parameter p. Wie ist das mit dem Parameter zu verstehen? Würde mich über Hilfe sehr freuen. Danke
4 Antworten
(†) √(2x–1) – √(x/p) ≥ 0, wobei x, p ∈ R
Definitionsbereich von (†): 2x–1 ≥ 0 und x/p ≥ 0
- <==> x ≥ ½ und (entweder (x > 0 und p > 0) oder (x < 0 und p < 0) oder (x = 0 und p ≠0))
- <==> x ≥ ½ und p > 0
Lösung. Hierbei x ≥ ½ und p > 0.
- √(2x–1) – √(x/p) ≥ 0
- <==> √(2x–1) ≥ √(x/p)
- <==> √(2x–1)² ≥ √(x/p)²
- <==> (2x–1) ≥ (x/p)
- <==> (2–1/p)·x ≥ 1 (> 0)
- <==> (2–1/p > 0 und x ≥ 1 / (2–1/p)) oder (2–1/p < 0 und x ≤ 1/(2–1/p) (< 0 < ½ ≤ x) — Widerspruch!)
- <==> 2 > 1/p und x ≥ 1 / (2–1/p)
- <==> p > ½ und x ≥ 1 / (2–1/p) (>½)
Also ist die Lösungsmenge:
- L = {(x; p) ∈ [0; ∞) x (0; ∞) : x ≥ ½ & x ≥ 1/(2–1/p)}
- = {(x; p) ∈ [0; ∞) x (0; ∞) : x ≥ 1/(2–1/p)}
- = {(x; p) ∈ [0; ∞) x (0; ∞) : x ≥ p/(2p–1)}
Deshalb (†) <==> p > 0 und x ≥ p/(2p–1).
Könntest du mir vielleicht erklären, was du alles gemacht hast? Bin erst in der 8. Klasse, aber bin math. nat. vertieft... Danke
Um die Gleichung überhaupt zu untersuchen, muss der Term auf der rechten Seite existieren. Der Term √(2x–1) – √(x/p) existiert nur dann, wenn die Terme innerhalb der jeweiligen Wurzeln ≥ 0 sind. Sprich, wenn 2x–1 ≥ 0 und x/p ≥ 0. Also muss x ≥ ½ sein, und da x (streng) positiv ist, muss p auch nicht negativ sein, um dass x/p ≥ 0 gilt. p darf nicht gleich 0 sein, sonst existiert x/p nicht. Zusammengefasst sind die Variablen auf:
- x ≥ ½
- p > 0
beschränkt. Auf genau diesem Bereich ist √(2x–1) – √(x/p) als reelle Zahl wohldefiniert, und sonst nirgendwo.
Algebra bei Ungleichungen ist fast dasselbe wie bei Gleichungen. Die Regeln sind aber ein bisschen beschränkter:
- Für a, b, c ∈ R:
- (I) a + c ≤ b + c <==> a ≤ b
- (II) a · c ≤ b · c <==> a ≤ b, solange c > 0.
- aus (II) folgt für a, b ≥ 0: a ≤ b ==> a·a ≤ a·b und a·b ≤ b·b, also a² ≤ ab ≤ b² ==> a² ≤ b²
- man kann weiter argumentieren, dass auch a² ≤ b² ==> a ≤ b für a, b > 0.^
- also (III) a ≤ b <==> a² ≤ b²
- aus (I) folgt (IV) a ≤ b <==> -a ≤ -b ^^
Mittels dieser Regeln kann die Ungleichung gelöst werden:
- (†) √(2x–1) – √(x/p) ≥ 0
- <==> √(2x–1) – √(x/p) + √(x/p) ≥ 0 + √(x/p) … aus Regel (I)
- <==> √(2x–1) ≥ √(x/p)
- <==> √(2x–1)² ≥ √(x/p)² … wegen Regel (III)
- <==> 2x–1 ≥ x/p
- <==> (2·x – 1)·p ≥ (x/p)·p … wegen Regel (II) und da p > 0.
- <==> 2p·x – p ≥ x
- <==> 2p·x – p + p–x ≥ x + p–x … wegen Regel (I)
- <==> 2p·x – x ≥ p
- <==> (2p – 1)·x ≥ p
Fall 1. 2p – 1 = 0. Dann gilt (†) <==> 0·x ≥ p <==> 0 ≥ p. Dies ist unmöglich, weil p > 0 (sieh oben).
Fall 2. 2p – 1 < 0. Also -0 < -(2p–1) wegen (IV), d. h. -(2p–1) > 0. Dann gilt (†) <==> (2p–1)·x ≥ p <==> -p ≥ -(2p–1)·x wegen (IV) <==> [-p/-(2p–1)]·-(2p–1) ≥ x·-(2p–1) <==> [-p/-(2p–1)] ≥ x wegen (II) und weil -(2p–1) > 0. Also, in diesem Fall (†) <==> x ≤ p / (2p–1). Nun, p/(2p–1) < 0, weil p > 0 und (2p–1)<0. Also muss x < 0 sein, um dass (†) gilt. Aber ganz oben wurde festgestellt, dass x ≥ ½. Deshalb ist dieser Fall unmöglich.
Fall 3. (2p–1) > 0. Dann gilt (†) <==> x·(2p – 1) ≥ [p/(2p–1)]·(2p – 1) <==> x ≥ p/(2p–1) wegen (II) und da (2p–1) > 0.
Zusammenfassend:
Die Ungleichung ist dann gültig, wenn
- x ≥ ½;
- p > 0;
- (2p–1) > 0, sprich, p > ½; und
- x ≥ p / (2p–1) (was selber > ½ ist, da p > 0 und p / (2p–1) = 1/(2–1/p) > 1/2.)
also, genau dann, wenn
- p > ½; und
- x ≥ p / (2p–1).
Vielleicht ist das ein bisschen zu ausführlich, und ich habe dich in den Einzelheiten / der ausführlichen Erklärung verloren. Hoffentlich nicht ; )
^ Beweis. Sonst gäbe es a, b ≥ 0, so dass a² ≤ b² und NICHT(a ≤ b). Also b < a. Aus (II) folgt wieder: b² ≤ a². Da a² ≤ b² ≤ a², muss gelten: b² = a². Daher b = ±a. Daher b = a (da a, b ≥ 0). Dies widerspricht der Ausnahme, dass NICHT (a ≤ b).
Also wenn a, b ≥ 0 und a² ≤ b², muss gelten: a ≤ b.
^^ Beweis. a ≤ b <==> a + -b+-a ≤ b + -b+-a <==> -b ≤ -a.
P. S.:
»A <==> B«
bedeutet: »Aussage A gilt genau dann, wenn Aussage B stimmt.«
Anwendung: Wenn man weiß, dass A <==> B, reicht es aus, um Aussage A zu untersuchen, stattdessen Aussage B zu untersuchen.
Ich hab noch eine Frage: Bei der Fallunterscheidung im 2. Fall. Da steht: " Also, in diesem Fall (†) <==> x ≤ p / (2p–1)" Wo sind bei "x≤p/(2p-1)" die - Zeichen hin? Vorher stand noch: "x≤[-p/-(2p-1)]" ???
Die Zeichen wurden weggelassen:
- Im 2. Fall gilt (†) <==> [-p/-(2p–1)] ≥ x <==> p/(2p–1) ≥ x.
Denn -p/-(2p–1) = p/(2p–1).
p kann im Prinzip jede Zahl sein. Mit verschiedenen p kriegst du verschiedene Ungleichungen. Wenn z.B. p = -1 ist, ist die Ungleichung √(2x-1)-√(-x) >=0. Das hat überhaupt keine Lösung, denn wenn x positiv ist, geht die zweite Wurzel nicht und wenn x negativ ist, geht die erste nicht.
Für p = 1 wäre die Ungleichung
√(2x-1)-√x >=0
<=> √(2x-1) >= √x
<=> 2 x - 1 > x
<=> x > 1
Du musst versuchen, allgemein Lösungen anzugeben, wenn ein beliebiges p vorgegeben ist.
Der Parameter soll ein Element der reellen Zahlen sein. Also z.B. keine komplexe Zahl.
du musst p als zahl betrachten, wie 2 oder so... nich wie eine unbekannte wie x... am ende musst du etwas rausbekommen wie z.B x= 5+p oder sowas
Sorry! Kleiner Fehler: am Ende hatte ich etwas nicht übertragen:
Die Lösungsmenge ist:
Deshalb (†) <==> p > ½ und x ≥ p/(2p–1).