Umkehrfunktion einer stetigen Funktion, die nicht stetig ist?
Im Allgemeinen muss die Umkehrfunktion einer stetigen Funktion (falls sie existiert) nicht auch stetig sein. Gute Beispiele wären Abschnittweise definierte Funktionen, aber gibt es da einfachere Beispiele die ich nennen könnte in einer Prüfungssituation ? Es wäre nämlich mühsam bei einer Prüfung mir eine solche bilden zu müssen. Oder gibt es ein einfaches einprägsames Beispiel ?
2 Antworten
Das ist tatsächlich nicht so simpel aufzustellen, denn für ein Intervall U (kann auch ganz IR sein) und eine injektive stetige Funktion f:U->IR gibt es immer eine stetige Umkehrung auf ihrem Bild f^-1:f(U)->U.
In der Topologie nennt man eine stetige bijektive Abbildung, deren Umkehrung ebenfalls stetig ist einen Homöomorphismus. Solche Abbildungen bilden offene Mengen auf offene Mengen ab und ihre Umkehrung tut das genau so. Daraus folgt, dass ein Homöomorphismus die Gestalt der beiden Mengen, die aufeinander abgebildet werden, erhält, in dem Sinne, dass beide die gleiche Anzahl an zusammenhängenden Gebieten haben, die gleiche Anzahl an Löchern, Hohlräumen etc.
Ich kann dir ein Beispiel in höherer Dimension geben für eine Funktion auf einem Intervall, die stetig bijektiv ist, aber deren Umkehrung nicht stetig ist:
nehme die Funktion f(x)=((cos(x),sin(x)) für 0<=x<2π. Diese bildet das halb-offene Intervall [0,2π) auf den um 0 zentrierten Kreis mit Radius 1 in zwei Dimensionen ab (nennt man auch den Einheitskreis S^1). Die Funktion ist stetig bijektiv, aber ihre Umkehrung ist im Punkt (1,0) nicht stetig.
Schönes Beispiel, aber sin und cos sind ja nicht wirklich bijektiv, du erzwingst das quasi, indem du das Urbild modulo 2π nimmst. So gesehen entsteht die Unstetigkeit nicht unmittelbar aus der Funktion selbst, sondern aus der Konstruktion des Bildraums. Da „klebst“ du weit entfernte Urbilder zusammen. Ist dann Stetigkeit immer auch durch den topologischen Raum bedingt? Gibt es auch etwas weniger „pathologische“ Beispiele?
y(x)=x
und x(y)=1/y
Die Antwort verstehe ich nicht ganz...
Soll x jetzt die Umkehrfunktion von y sein? Wie kommst du drauf, dass das voneinander die Umkehrfunktionen sind? Die Umkehrfunktion von f(x) = x ist f^-1(y) = x, da es sich um die Identitätsabbildung handelt.
Achtung 1/x ist natürlich nicht die Umkehrfunktion von x womit diese Antwort nicht stimmt.
Danke! Die Umkehrfunktion ist nicht stetig weil sie im Gegensatz zur ursprünglichen an der Stelle 0 nicht stetig (sogar nicht definiert) ist oder ?
Moment ich habe die Frage falsch verstanden bzw ist die Antwort falsch. 1/x ist nicht die Umkehrfunktion für y=x
Stimmt, wäre auch zu einfach gewesen.
Leider ja. Mir fällt dazu ehrlichgesagt kein einfaches Beispiel ein.
Ich glaube hier wird "Umkehrfunktion" mit "Kehrwert" verwechselt
Die Umkehrfunktion von y(x)=x ist x(y)=y und nicht x(y)=1/y