Generator in Gruppe finden?

Schönen guten Tag,

wir haben Aufgaben bekommen und bei 1b und 1c bin ich wirklich raus.

Die Aufgabenstellung ist wie folgt.

Gegeben ist eine zyklische multiplikative Gruppe Z13*.

Also Z13* = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 }

1b) Gegeben sei ein Element x∈G. Wie können Sie durch Berechnung von nur 2 Potenzen von x testen, ob x ein Generator von G ist?

Ich schaue mir die Werte der einzelnen Untergruppen an und kann einfach keinen Ansatz finden. Irgendwelche Formeln um dies zu berechnen sind mir auch nicht bekannt.

1c) Angenommen, Sie kennen in G ein Element x der Ordnung 3 und ein Element y der Ordnung 4. Konstruieren Sie daraus einen Generator von G.

Auch hier erkenne ich einfach keinen Zusammenhang, in wiefern die Ordnung der einzelnen Untergruppen hilft, einen Generator zu finden und bin da echt hilflos.

Vielen dank für eure Antworten. :)

1 Antwort

ralphdieter

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

03.06.2021, 18:23

zu 1b)

x ist eine Primitivwurzel (falls Du das mit Generator meinst) ⇔ ord₁₃(x)=φ(13)

Berechne also x⁴ und x⁶: Sind beide ≠1, dann sind auch x, x², x³≠1. Damit muss x nach dem Satz von Lagrange die Ordnung φ(13)=12 haben.

zu 1c)

x²y müsste passen, denn (x²y)⁴=x⁸=x²≠1 und (x²y)⁶=y⁶=y²≠1.

Das ist alles schon Jahrzehnte her. Kann sein, dass ich Murks verzapfe...

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