Ordnungen der Elemente von S6?
Hey Leute,
Thema: Symmetriegruppen, Ordnungen, Permutationen,...
ich habe folgende Aufgabe:
Welche Ordnungen treten bei den Elementen der S6 auf?
Meine Lösung wäre dann die 6 und die 2, da entweder die Drehungen die Ordnung 6 haben und die Spiegelungen aus jeweils 3 disjunkten Zyklen der Ordnung 2 bestehen, das kgV(2, 2, 2) ist ja 2.
Deswegen sind die Ordnungen die auftreten können 6 und 2.
Oder?
Danke im voraus
1 Antwort
Erstens gibt es in jeder Gruppe ein Element der Ordnung 1 (nämlich das neutrale Element)
Zweitens hast du bei den Drehungen eine Kleinigkeit vergessen: Wenn du eine Drehung der Ordnung 6 zweimal hintereinander durchführst, erhältst du eine neue Drehung. Welche Ordnung hat die?
Drittens besteht die S6 nicht nur aus Drehungen und Spiegelungen des Sechsecks, sondern aus allen Permutationen von {1,..., 6}.
Es gibt deutlich mehr Ordnungen in der S6 ;)
Ja, das neutrale Element ist die Identität. Und nein, es hat nicht die Ordnung 6.
Fangen wir mal ganz vorne an: Was ist eigentlich die Ordnung eines Elementes?
Das ist nicht die Definition von "Ordnung eines Elementes einer Gruppe". Kann es ja gar nicht sein, weil es Gruppen gibt, deren Elemente nicht alle Zykel sind. Selbst die S6 besteht nicht nur aus Zykeln. Also schlag besser noch einmal die Definition in deinem Skript nach oder nutze die Suchmaschine deiner Wahl ;)
Ah Moment wenn ich das richtig vverstehe ist das die Anzahl wie oft man den Zykel anwenden muss um die Identität zu bekommen
Wir bewegen uns in die richtige Richtung. Aber wie gesagt: Nicht alle Elemente von S6 sind Zykel.
Die Ordnung eines Elements g ist die (kleinstmögliche positive) Zahl n mit g^n = e, wobei e das neutrale Element ist.
In der S6 ist das gleichbedeutend mit der (kleinstmöglichen positiven) Zahl n, sodass die n-fache Komposition von g (mit sich selbst) die Identität ist. Und da die Identität selbst die Identität ist, braucht man sie nur einmal anwenden, um auf die Identität zu kommen ;) Daher hat sie die Ordnung 1.
Das neutrale Element ist doch die identische Abbildung.
Diese hat doch auch die Ordnung 6 oder?