Textaufgabe Integralrechnung - Wie berechne ich die maximale Höhe?
Hallo, Ich habe hier eine Textaufgabe zur Integralrechnung. Es geht um einen Heißluftballon. Er startet zum Zeitpunkt 0 und landet nach 4 Stunden. Die Funktion ist f(x)= 0.1x^3 - 0.65x^2 + 6. X ist dabei die verstrichene Zeit seit dem Start in Stunden & f(x) ist die Steig-/Fallgeschwindigkeit in km/h.
Ich habe bereits alle anderen Teilaufgaben ohne Probleme gelöst, aber jetzt hänge ich fest.
Die Aufgabe ist: Welche maximale Höhe erreicht der Ballon?
Ein Ansatz würde mir schon reichen. Danke!
3 Antworten
Richtig, du musst die Fläche (Integral) bis zur 1. Nullstelle berechnen, die du durch einsetzen von 4h in die Funktion ermittelst, denn das Integral der Geschw. ist der Weg(Höhe)! Ballon fliegt mit 6km/h los und mit f(x) = 0 hast du wieder den Boden erreicht! Die Kurve geht zwar dann nach dem Minimum wieder nach oben in den 1. Quadranten, aber das interessiert nicht mehr.
Das Integral (Fläche) ist die Höhe, habe ich doch beschrieben!
Die von dir angegebene Funktion ergibt in dem Kontext keinen Sinn.
Wenn die vertikale Geschwindigkeit gegeben ist muss man genau diese Null setzen, um die Stelle von Extrema zu finden (da Geschwindigkeit die erste Ableitung des Ortes ist).
Setzt man hier jedoch f(x) = 0 erhält man (neben zwei komplexen) nur eine negative Lösung.
Außerdem ist f(x) die gesammte Zeit über positiv. Das Integral zeigt, dass der Ballon ca. 16.5 km höher landen muss, als er gestartet ist.
Das ist selbst für eine Matheaufgabe realitätsfremd und extrem ungewöhnlich.
Selbst wenn man f(x) als Höhe und nicht als vertikale Geschwindigkeit nimmt kommt 716m nicht als maximale Höhe raus, sondern 6 (km?).
Danke schonmal! Ich habe f(x)=0 gesetzt, bei mir kamen dann aber x=0 & x=6.5 raus. Könnte ich mit diesen Zahlen auf irgendeine Art weiter rechnen? f(x)=0 sagt ja eigentlich nur aus, dass dort die Geschwindigkeit Null ist, aber nichts über die Höhe, oder?
Wie hast du denn bitte f(x)=0 ausgerechnet? Das ist eine Funktion dritten Grades, wenn man nicht aus purem Glück eine Nullstelle richtig rät kann man das nur mit "großem" Aufwand exakt lösen.
x=0 ist definitiv keine richtige Lösung. Es ist offensichtlich, dass f(0) = 6.
6.5 ist auch falsch.
Denn wie ich gesagt habe: es gibt nur eine reelle Lösung, und die ist negativ.
Ich habe gerade gesehen in meiner ursprünglichen Fragestellung habe ich 6 statt x geschrieben! Die richtige Funktion lautet f(x)=0.1x^3 - 0.65x^2 + x !!! Mit dieser Funktion habe ich auch f(x)=0 gerechnet und da sind dann die schon genannten Ergebnisse heraus gekommen..
Dann rechne f(x)=0 nochmal aus.
0 ist eine richtige Lösung, 6.5 aber nicht.
Tipp: x lässt sich ausklammern => Satz vom Nullprodukt und pq- / Mitternachtsformel anwenden.
Die so erhaltenen Nullstellen musst du dann immer in die Ableitung f'(x) einsetzen, um zu sehen, ob es überhaupt Hochpunkte sind.
Das wird nur bei einem der Fall sein.
Dann berechnest du noch das Interal von 0
Oh man, Manchmal steht man echt auf dem Schlauch. Ich habe beim ausklammern von x schlichtweg vergessen, dass ich eine 1 hinschreiben muss. Mein Rechenweg war 0,1x^3 - 0,65x^2 + x = 0 x (0,1x^2 - 0,65x) = 0 Daraus ergab sich dann im Nachhinein natürlich das falsche Ergebnis..
Die von dir angegebene Funktion ergibt in dem Kontext keinen Sinn.
Ich finde, solche "Kontextaufgaben" grundsätzlich unredlich. Welcher Ballon wird sich schon danach richten, wie eine Funktion dritten Grades verläuft. Aber statt kritisch heranzugehen lernt der Schüler, dass man mit Mathematik alles erklären kann.
Ich habe es aber jetzt geschafft. Als Ergebnis kam ja x=2.5 , Dazu dann das Integral und es kommt das richtige Ergebnis raus. Ganz einfach. (Eigentlich) Trotzdem vielen vielen Dank für deine Mühe und Hilfe!! :)
Extremwert bestimmen? Maximum?
f''(x) =0
Das habe ich bereits versucht, es kommt aber trotz mehrerer Versuche nicht das gesuchte Ergebnis raus (laut Lösung 716m)
Der Extremwert ist es nicht, sondern wie du richtig schreibst das Integral! Lies meins.
mit f(x)=0 hätte man einen Punkt erreicht, an dem die vertikale Geschwindigkeit 0 ist. Über die Höhe sagt das alleine nichts aus.