Taschenrechner sin^-1 usw
Hey ich wollte nur fragen warum auf den taschenrechnern als umkehrfunktion sin oder cos ^-1 angegeben wird, der aber die Arc funktion nutzt. Ist ja meines wissens nicht dasselbe
mfg
5 Antworten
Um die Umkehrfunktion einer Funktion f zu beschreiben, benutzt man generell die Schreibweise f^-1. Das ist zunächst einmal nichts ungewöhnliches und lehnt sich an an die Vorstellung, dass mit mit ^-1 eben gerade das Inverse bezüglich einer bestimmten Verknüpfung gemeint ist und die hier benutzte Verknüpfung eben die Hintereinanderausführung von Funktionen ist. Damit ist dann
f^-1(f(x)) = x (wobei wir hier immer davon ausgehen, dass die Funktion auch umkehrbar ist).
"Eigentlich" ist damit auch klar, was mit sin^-1 gemeint ist, nämlich die Umkehrfunktion der Sinus-Funktion. Es wäre auch klar abgegrenzt gegenüber dem Ausdruck
sin(x)^-1 = 1/sin(x)
In diesem Sinne wäre sin^-1(x) eben nicht dasselbe wie sin(x)^-1.
Nun hat sich für den Sinus (und die anderen trigonometrischen Funktionen) aber eine Schreibweise eingebürgert, die
sin²x mit (sin x)² gleichsetzt. Das ist pure Konvention, also Schreibweise. "Eigentlich" im Sinne der Algebra wäre
sin²x = sin(sin x).
Das kommt aber als sinnvolle Anwendung der Sinusfunktion nicht vor - daher macht es nichts, dass man sozusagen "schlampig" die Klammern abkürzt, dann schließlich wissen ja immer alle, was gemeint ist. Bei ^-1 ist das aber leider nicht so eindeutig. Was auf dem Taschenrechner steht, ist also keineswegs falsch, sondern streng genommen völlig richtig. Es passt nur nicht zur ansonsten üblichen Schreibweise.
Gut, dass du auf diese schlampige Schreibweise aufmerksam machst — dass nämlich Sinⁿ im Sinne von (F; ·) und während sin^-1 im Sinne von (F; ○) gemeint ist. Hierbei bezeichnet F einen geeigneten Funktionsraum, und f · g punktweise Multiplikation und f ○ g Komposition.
Dieser uneinheitliche Gebrauch und die dadurch entstandene Verwirrung unter Kommilitonen trieb mich immer in den Wahnsinn an der Schule…
^-1 ist eine allgemeine Bezeichnung für Inverse innerhalb einer Gruppe. Hierbei ist die Gruppe die der Funktionen es gilt: sin^-1 ○ sin = Id … und sin ○ sin^-1 = Id. Na gut, die Gleichungen gelten nur auf einer Beschränkung des Bereichs, dennoch kann man nachvollziehen, weswegen die Notation verwendet wie sie ist.
Ich rate mal, darf ich? Arc ist für das Bogenmass als Winkeleinheit gedacht. Die Inv-Funktion ist die wirkliche Umkehrfunktion. Das Ergebnis wir dann im Bogenmass (arc) oder Grad-Masstab angezeigt.
Spontan war arcsin, bzw. arccos einfach zu lang für die Taste und man brauchte eine kürzere Fassung. Du hast aber recht, eigentlich sind das zwei unterschiedliche Funktionen.
aber warum dann was vollkommen falsches hinschreiben? :D
Die Schreibweise ist einfach in den angelsächsischen Ländern teilweise üblich (vgl. z.B. >http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions, Unterabschnitt "Notation".
Dort ist übrigens auch genau dein Einwand genannt. Du bist auf der sicheren Seite, wenn du konsequent die Bezeichnungen arcsin, arccos, arctan, arccot für die Umkehrfunktionen benutzt.
Um dich eindeutig auszudrücken, könnten auch die folgenden Bezeichnungen helfen:
sin(x)^(-1) = 1 / sin(x) heißt "Sekans" (abgekürzt sec),
cos(x)^(-1) = 1 / cos(x) heißt "Kosekans" (abgekürzt csc);
tan(x)^(-1) = 1 / tan(x) ist ohnehin der Kotangens ( cot ).
Anscheinend werde sec und csc heute aber eher selten verwendet.