Tangentengleichung ohne Berührungspunkt bestimmen?
Vom Koordinaten Ursprung (0/0) Wird die Tangente an den Graphen der Funktion f mit f(x)=x^2 +2 gezeichnet.
Laut Lösung ist die Tangentengleichung y=2 X Wurzel2 X x.
Wie kommt man darauf?
3 Antworten
Hallo,
da die Gerade durch den Ursprung geht, hat sie die allgemeine Gleichung
g(x)=mx, wobei m die konstante Steigung der Geraden ist.
Diese gerade muß zwei Bedingungen erfüllen:
Sie muß einen Punkt mit f(x)=x²+2 gemeinsam haben, daher muß gelten:
mx=x²+2
Außerdem muß m den gleichen Wert haben wie die Ableitung der Funktion f(x) am Berührpunkt, der Berührpunkt ist also ein Punkt, an dem die Steigungen von f(x) und g(x) gleich sind.
Die Steigung von f(x)=x²+2 ist f'(x)=2x
Die Steigung von g(x) ist m.
Es muß also gelten:
m=2x
Wenn Du nun 2x anstatt m in die erste Gleichung einsetzt, hast Du nur noch eine Unbekannte:
2x*x=x²+2
2x²=x²+2
x²=2
x=Wurzel (2)
m=2x=2*Wurzel (2).
g(x) daher gleich 2*Wurzel (2)*x
Da auch die negative Wurzel -Wurzel (2) die Gleichung x²02 erfüllt, kannst Du noch eine zweite Tangente anlegen:
h(x)=-2*Wurzel (2)*x
Die erste Gerade berührt die Parabel im ersten Quadranten, die zweite berührt sie im zweiten Quadranten.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Funktion hat die Form
f(x) = x^2 + 2
Die Tangente hat als Gerade allgemein die Form
g(x) = mx + b. Weil bekannt ist, dass die gesuchte Tangente durch (0 / 0) gehen soll, vereinfacht sich das zu
g(x) = mx.
So, und der Berührpunkt (egal wo er ist) liegt auf beiden, dort gilt
f(x) = g(x).
Und genau das ist der Ansatz, das gibt einen Fall für die pq-Formel. Aber "nicht so einfach", immerhin ist der Ausdruck (und damit die Lösung) abhängig von m. Aaaaber im ""Berührpunkt" berühren sich die beiden Gebilde, d.h. genau dort ist eine doppelte Nullstelle, d.h. genau dort wird der Wurzelausdruck aus der pq-Formel = 0. Bingo, damit bekommt man m heraus und kann die nächste Aufgabe in Angriff nehmen.
Anscheinend ist es nicht einfacher, da du - wenn man deine Beiträge hier verfolgt - keine einzige Aufgabe lösen kannst, ohne dein "Formelbuch" zu zitieren.
Mathematische Probleme lösen, bedeutet nicht, die Lösungen aus Büchern abzuschreiben, sondern sie mit dem eigenen Wissen zu erarbeiten.
Auch, dass etwas nur deshalb einfacher sein sollte, weil es eine Unbekannte weniger hat, bestreite ich!
Nicht falsch verstehen: mal das ein oder andere nachschlagen, ist kein Thema, aber überall nur das Nachschlagewerk zu zitieren ist kontraproduktiv was die eigene Lösungsfindung angeht.
"Deine" Methode hat einen gravierenden Nachteil: sollte sich in dein Formelbuch mal ein Fehler einschleichen oder du keinen Zugriff darauf haben, kommst du niemals auf die richtige Lösung.
Wenn du das für dich so machst, ist es deine Sache. Anderen, die die Lösung auf einfache Weise aus allgemein Bekanntem herleiten, aber zu suggerieren, es gäbe einen besseren Weg (der in Wirklichkeit aber der gleiche, nur halt fertig ausgerechnete Weg ist - aber woher solltest du das erkennen?), finde ich ein wenig anmaßend!
Die Formel yt=ft(x)=f´(x)*(x-xo)+f(xo) kann man einfach herleiten und dann immer wieder anwenden
Geradengleichung y=m*x+b mit m=f´(xo) ergibt
y=f´(xo)*x+b mit y=f(xo)
f(xo)=f´(xo)*xo+b ergibt b=f(xo)-f´(xo)*xo eingesetzt
y=f´(xo)*x+f(xo)-f´(xo)*xo
y= f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
Frage: "Willst jetzt bei jeder neuen Aufgabe diese Herleitung nochmals aufschreiben"?
Wenn man die Herleitung 1 mal macht,dann reicht das doch.
Hinweis: Die Herleitung der Normalengleichung geht gemau so.
Steigung ist dann m=-1/f´(xo)
siehe Mathe-Formelbuch "Differentialgeometrie"
Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
Normalengleichung yn=fnt(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
xo ist die Stelle,wo die Tangente/Normale auf die Funktion f(xo)=.. trifft.
f(x)=x^2+2 abgeleitet f´(x)=2*x
eingesetzt
ft(x)=2*xo*(x-xo)+(xo^2+2)
Bedingung für die Gerade ft(0)=0 eingesetzt
ft(0)=0=2*xo*(0-xo)+xo^2+2=2*xo-2*xo^2+xo^2+2
0=-1*xo^2+2 ergibt xo=+/- Wurzel(-2/-1)=+/- 1,4142..
also gibt es 2 Tangentengleichungen: 1.te mit xo=1,4142.. und 2.te xo=-1,4142..
1.te ft(x)=2*1,4142*(x-1,4142)+1,4142^2+2
ft(x)=2,828*x-2*2+2+2
1.te ft(x)=2,828*x
mit xo=-1,4142 ergibt sich
- te ft(x)=-2,828*x
es geht aber viel einfacher,wenn man die Formeln aus dem Mathe-Formelbuch abschreibt.
Kapitel "Differentialgeometrie"
Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
Normalengleichung yn=fn)x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
xo ist die Stelle,wo sich die Tangente/Nornale mit der Funktion f(xo)=.. treffen
Rahmenbedingung hier ft(0)=0 ergibt dann xo
0=f´(xo)*(0-xo)+f(xo)
also nur 1 Unbekannte "xo" und 1 Gleichung,also lösbar.