LaPlace System Stabil?

Hallo

ich habe eine Frage zu den Polstellen in der LaPlace Ebene. Ich lese immer wieder, dass ein System stabil ist wenn die Polstellen in der linken Hälfte der LaPlace Ebene liegen. Das ergibt für mich keinen Sinn, wenn man bedenkt, dass die LaPlace Funktion ja e^-st lautet. Damit würden doch negative Werte für s zu exponentiell ansteigenden Werten führen. Kann bitte jemand das erklären?
LG
Lukas

Answer 1

[isohypse]

Du verwechselst die Transformationsvorschrift mit den Eigenfunktionen exp(st). Ein s mit positivem Realteil ist exponentiell ansteigend und somit instabil. Ist wie bei der Fourier Transformation.

Comments

[CabslandPenny]

Okay danke aber es heisst doch exp(-st)

[isohypse]

@CabslandPenny

1/(s-a) ist im Zeitbereich exp(a*t). Ein (dominanter) Pol mit s=a führt daher zum Grenzverhalten exp(s*t).

Hat AMG38 schon geschrieben.

Du verwechselst nach wie vor die Transformation mit der Eigenfunktion.

[isohypse]

@isohypse

exp(a*t) meinte ich natürlich. Und daher muss Re(a) <0 sein, damit man stabil ist.

Answer 2

[AMG38]

Es geht prinzipiell darum, dass du einem System etwas eingibst bzw. zuführst, und dass die Antwort darauf (vom System) nicht unbeschränkt weiterwächst, sondern sich irgendwann beruhigt bzw. abklingt. Das ist die sinngemäße Bedeutung von einem stabilen System.

Für ein stabiles System (genauer asymptotisch stabil) müssen die Realteile der Polstellen negativ sein (deshalb in der linken Hälfte der Laplace Ebene).

Die Verwirrung kommt vermutlich daher, dass die inverse Laplace Transformation von

$F\left(s\right)=\frac{1}{s-a}\ \ \ ->\ f\left(t\right)=e^{\left(at\right)}$

Hier hättest du bspw. s - a = 0 bzw. s = a. Du hättest also einen positiven Wert und deine Funktion f(t) würde bei t gegen unendlich auch unendlich anwachsen -> Instabil.

Wenn a jedoch negativ ist, kommst du auf

$f\left(t\right)=e^{-at}$

und die Funktion geht bei t gegen unendlich dann gegen Null.

Für ein negatives a brauchst du

$F\left(s\right)=\frac{1}{s+a}\ \ \ \ \ ->\ \ \ \ s=-a$

Answer 3

[Slevi89]

Die Verbindung ist nicht richtig. Das s aus der Laplace Transformations ist zum einen nicht der Pol selbst und zum anderen geht es nicht um die Transformationsvorschrift die du oben dargestellt hast.

Es geht um die Verbindung zwischen den Eigenwerten des dynamischen Systems der zugrunde liegenden DGL und den Polen der Übertragungsfunktion im Laplace Bereich.

Um es hier mal einfach zu halten muss gelten, dass die Pole der Übertragungsfunktion im Laplace Bereich (also das charakteristische Polynom des nenners) gleich den Eigenwerten des systems im Zeitbereich sind. Da die Eigenwerte für ein stabiles system alle negativ sein müssen, müssen die Pole entsprechend in der linken Halbebene liegen