Trigonometrie Textaufgabe nicht verstanden?
Guten Tag, ich schreibe bald eine Ka aber weiß nicht wie man solche Textaufgaben löst. Kann mir bitte vielleicht jemand die Rechenschritte erklären? Vielen Dank im Voraus.
5 Antworten
Aufstellen trigonometrischer Gleichung und Auflösen nach dem zu bestimmenden Wert h
(I) tan 40 = h/x --> h = x tan 40
(II) tan 25 = h/(x+14) -->h = x tan 25 + 14 tan 25
Gleichsetzungsverfahren zur Bestimmung von x
x tan 40 = x tan 25 + 14 tan 25
x (tan 40 - tan 25) = 14 tan 25
x = 14 tan 25 / (tan 40 - tan 25)
Einsetzen von x in (I)
h= 14 tan 25 tan 40 / (tan 40 - tan 25)
Hi,
Kleines Dreieck:
tg 40° = h / x => h = x * tg 40°
Großes Dreieck:
tg 25° = h / (x +14) => h = (x + 14) * tg 25°
Gleichsetzen:
0,839 * x = 0,466 * (x + 14)
0,839 * x = 0,466 *x + 6,528 | - 0,466 *x
0,373 *x = 6,528 | : 0,373
x = 17,50
h = 17,50 * 0,839 = 14,69 m
LG,
Heni
Zuerst sollte dir auffallen, dass wir hier zwei rechtwinkelige Dreiecke gegeben haben.
Bei diesen Dreiecken kennen wir die Längen der Katheten zwar nicht (die sind ja schließlich gesucht), aber wir kennen jeweils einen Winkel und wir wissen, dass eine Kathete von großen Dreieck um 14m größer ist als die vom kleinen Dreieck.
Aber nun zu Lösung des Beispiels:
Die Definition der Tangensfunktion besagt:
Das stellst du jetzt für beide Dreiecke auf:
Jetzt solltest du sehen, dass du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei unbekannten hast. Das kannst du jetzt mit z.B. dem Gleichsetzungsverfahren lösen.
Du hast 2 Dreiecke, in denen Du den Tangens anwenden kannst.
(1) h = x * tan(40°)
(2) h = (x + 14 m) * tan(25°)
gleichsetzen führt zu
x = 14 m * tan(25°) / (tan(40°) - tan(25°))
x = 17,51 m
h = 14,69 m
Hallo,
da gibt es mehrere Möglichkeiten.
Am einfachsten ist es wohl, die Hypotenuse y des großen Dreiecks, also die Entfernung von A bis zur Spitze des Turms über den Sinussatz zu berechnen, wobei Du noch die beiden Winkel im linken Teildreieck mit der Basis 14 berechnen mußt.
Der Winkel von 25° ist bereits gegeben, der Winkel unten rechts ist der Nebenwinkel von 40°, also 140° (beide ergänzen sich zu einem gestreckten Winkel von 180°).
Der Winkel rechts oben hat dann 15° (Innenwinkelsumme eines ebenen Dreiecks ist 180° und 180°-(25°+140°)=15°.
Nun gilt nach dem Sinussatz für beliebige ebene Dreiecke:
y/sin (140°)=14/sin (15°), woraus folgt, daß y=14*sin (140°)/sin (15°).
Wenn Du y berechnet hast, ist dies wie gesagt die Hypotenuse in dem großen rechtwinkligen Dreieck und es gilt: sin (25°)=h/y, also h=y*sin (25°).
x berechnest Du über den Kosinus:
cos (25°)=(x+14)/y, daher x=y*cos (25°)-14.
Du kannst aber auch den Tangens benutzen, wenn h bekannt ist, um x zu berechnen.
Herzliche Grüße,
Willy