Summe über alle geraden Zahlen (Karl Friedrich Gauß)
Hi! wir nehmen gerade im Mathe Unterricht das Thema "Summe über alle natürlichen/ungeraden/ geraden Zahlen durch. Jetzt komme ich aber nicht mit der Formel über gerade Zahlen klar 2n klar, die unser Lehrer uns für die Hausaufgabe gegeben hat. Nehmen wir zum Beispiel n=2: Dann würde aber 2=2n=22=4 gelten, was aber keinen Sinn ergibt da 2 nicht 4 ist. Kann mir jemand Helfen? Danke im Voraus!
3 Antworten
Es gilt für n element der natürlichen Zahlen also n=1,2,3,4,5,6...
Dann sind die geraden Zahlen 2n = 2,4,6,8,10,12...
Die ungeraden Zahlen (2n-1)=1,3,5,7,9...
Und die Gecshichte mit dem kleinen Gauss war doch etwas wie: Zähle alle Zahen von 1 bis 100 zusammen, worauf er herausfand, dass 1+100 = 101, 2+99=101 bis 50+51=101. Da diese Summe 50 mal gebildet wird ist es gleich 50 * 101 = 5050
Über 100 Jahre bekannt. Und dieses Wissen ist kostenlos abrufbar:
http://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Reihe
mit d=2; a0=2
Da es genauso viele gerade wie ungerade Zahlen gibt und die Abstände immer gleich sind, wird die Lösung ungefähr bei der Hälfte der Summe aller natürlichen Zahlen bis n liegen.
Beispiele:
5: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, 1 + 3 + 5 = 9
6: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, 1 + 3 + 5 = 9
7: 28; 16
8: 36; 16
Es ist also davon auszugehen, dass die Summe aller ungeraden Zahlen 1 bis n gleich der Summe aller Zahlen 1 bis n ist, geteilt durch 2.Wenn n gerade ist, dann wird noch n/4 abgezogen, sonst (n+1)/4 addiert.