Stochastik- Video-Streamingdienst?
Aufgabe 4: Video-Streamingdienst
Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden. das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.
1 Unter den Abonnenten sind 70% höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben 80% das Komplettpaket gewählt. Bei den über 40-jährigen Abonnenten haben sich 50% für das Komplettpaket entschieden.
a Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
b Eine unter allen Abonnenten zufällig ausgewählte Person hat sich für das Komplettpaket entschieden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens 40 Jahre alt ist.
c Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mehr als fünf Personen älter als 40 Jahre sind.
2 Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit 60% soll gesteigert werden.
Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen Probebetrieb. Im Anschluss soll die Nullhypothese Der Anteil der zufriedenen Abonnenten beträgt höchstens 60%." mithilfe einer Stichprobe von 200 zufällig ausgewählten Abonnenten auf einem Signifikanzniveau von 5% getestet werden.
a Geben Sie an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser Nullhypothese geführt haben könnte.
Für den beschriebenen Test ergibt sich (132,133;...;200) als der Ablehnungsbereich der Nullhypothese.
b Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt:
• Y: Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe
P200/0,6 (Y≥132)=0,047
Begründen Sie, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänzen Sie diese geeignet.
c Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als 90% betragen könnte.
3 Zur Anmeldung auf der Webseite des Streamingdiensts ist ein persönliches Kennwort erforderlich. Für das Kennwort können 80 verschiedene Zeichen verwendet werden: je 26 Groß- und Kleinbuchstaben, 10 Ziffem sowie 18 Sonderzeichen
a Einige Abonnenten verwenden ein Kennwort, das genau acht Zeichen lang ist und nur aus Kleinbuchstaben besteht. Dabei können Zeichen mehrfach vorkommen. Zeigen Sie, dass für diese Abonnenten weniger als ein Tausendstel aller möglichen Kennwörter infrage kommen, die aus genau acht Zeichen bestehen.
b Niclas beschließt ein Kennwort zu wählen, das die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:
• Es besteht aus genau acht Zeichen, die untereinander verschieden sind.
• Die Buchstaben seines Namens sind in der korrekten Reihenfolge und unter Berücksichtigung der Groß- und Kleinschreibung enthalten.
Damit sind beispielsweise Nic4+las oder nNiclas mögliche Kennwörter. Bestimmen Sie die Anzahl aller derartigen Kennwörter.
Ich brauche unbedingt Hilfe bei Aufgabe 1c, 2a,2b,2c,3b.
Vielen Dank im voraus
1 Antwort
Da geht es um kumulierte Binomialverteilung, deswegen Ansatz über das Gegenereignis: zu weniger als 1% höchstens 5 Ältere.
Man sucht also das n in "n über k", geht nur über Ausprobieren mit TR (steht so z.B. im Klett Arbeitsbuch Stochastik) oder Online-Rechner. Der auf ingo-bartling.de liefert für diese Aufgabe n=40, dann ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit für 0;1;2;3;4;5 Treffer kleiner 1%, und mithin die für mehr als 5 Treffer größer 99%.
In der Aufgabenstellung "mehr als 5" ältere, also alle (!) k ab 6
X ist hier die Trefferanzahl, also Anzahl ab 40 Jahren.
P (X > 5) > 0,99 wird zu
1 - P (X < 6) > 0,99 auf beiden Seiten -1
-P (X < 6) > -0,01 durch (-1)
P (X < 6) < 0,01
Jetzt geht es um alle k von 0 bis 5, statt "kleiner 6" könnte man "kleiner gleich 5" schreiben:
P (X ≤ 5) = P (X = 0) + P (X = 1) + … + P (X = 5)
Die 6 einzelnen P müßte man jetzt ausrechnen mit der Formel
P (X = k) = (n über k)⋅ p^k ⋅ (1 – p)^n – k
k nimmt alle Werte von 0 bis 5 an, p ist 0,3 (30% ältere Abonnenten),
aber n ist unbekannt.
Doch man weiß, dass die 6 P zusammen kleiner 0,01 sein müssen.
Deswegen ausprobieren, z.B. beim aktuellen Casio gibt es ein Menü kumulierte Binomialverteilung.
Für n = 39 erhält man mehr als 1%, denn
P(X = 0) = 0
P(X = 1) = 0
P(X = 2) = 0.0001
P(X = 3) = 0.0007
P(X = 4) = 0.0025
P(X = 5) = 0.0076
Für n = 40 ist es dann weniger
P(X = 0) = 0
P(X = 1) = 0
P(X = 2) = 0.0001
P(X = 3) = 0.0005
P(X = 4) = 0.002
P(X = 5) = 0.0061
macht zusammen 0,87%, womit umgekehrt die kumulierte Wahrscheinlichkeit für alle Anzahlen älterer Abonnenten beginnend mit 6: 99,13% beträgt.
Kannst du bitte das als Gleichung aufschreiben?Ich verstehe es nicht ganz.