Rotation Körper?
Kann mir hier jemand die partielle integration erklären, die man da machen muss, danke
1 Antwort
Hallo,
das Rotationsvolumen einer Funktion f(x) berechnet sich nach π*∫(f(x))².
Du mußt also zunächst 5*√ln(x)*1/(x+1) zu 25*ln(x)/(x+1)² quadrieren.
Die 25 als konstanten Faktor ziehst Du natürlich vor das Integral und legst sie zusammen mit dem π erst einmal zur Seite.
f(x)=ln(x)*(x+1)^(-2) wird nun mit Hilfe der partiellen Integration behandelt.
Partiell nennt man diese Methode, weil zunächst ein Restintegral bleibt, das in einem zweiten Schritt auch integriert werden muß; manchmal bleibt auch dann noch ein Restintegral.
Wenn Du eine Funktion f*g' hast, also das Produkt einer Funktion f(x) und der Ableitung einer zweiten Funktion g(x), bekommt man - wenn alles aufgeht - eine Stammfunktion nach der Formel ∫f*g'=f*g-∫f'*g.
Hier hast Du die beiden Funktionen ln(x) und 1/(x+1)²=(x+1)^(-2).
Du mußt die Entscheidung treffen, welche der beiden Du als die Ableitung einer Funktion interpretierst. Dabei mußt Du bedenken, daß Du diese dann zweimal integrieren mußt, während die andere einfach abgeleitet wird.
Für mich war klar, daß ich sicher keine Lust habe, ln(x) zweimal zu integrieren, weswegen ich diese als f aufgefaßt habe und 1/(x+1)² als g', denn dann brauche ich ln(x) im Laufe der Berechnung nur einmal zu 1/x abzuleiten, während es kein Problem ist, 1/(x+1)² zunächst zu -1/(x+1) und dann noch einmal zu -ln(x+1) zu integrieren.
Mit f=ln(x) und g'=1/(x+1)² ergibt f*g ln(x)*(-)1/(x+1)=-ln(x)/(x+1).
Bleibt noch das Restintegral ∫f'*g, das davon abgezogen wird.
f' ist 1/x, g ist -1/(x+1); f'*g ist daher -1/[x*(x+1)].
Das Integral von diesem Produkt wird als Restintegral abgezogen, so daß das Minus zu einem Plus wird und Du erhältst -ln(x)/(x+1)+∫1/[x*(x+1)].
Den Bruch 1/[x*(x+1)] kannst Du durch Partialbruchzerlegung zu 1/x-1/(x+1) zerlegen und das Integral in zwei Integrale aufteilen, die keine Schwierigkeiten mehr machen, denn eine Stammfunktion von 1/x ist ln(x) und von 1/(x+1) ist ln(x+1), so daß das Restintegral vollständig aufgelöst ist zu ln(x)-ln(x+1).
Als Stammfunktion bekommst Du also -ln(x)/(x+1)+ln(x)-ln(x+1).
Setz für x zunächst eine 6 ein, speichere das Ergebnis ab und ziehe davon das ab, was Du bekommst, wenn Du für x eine 1 einsetzt. Denk daran, daß ln(1)=0, da fallen eine Menge Terme weg, so daß Du vom abgespeicherten Ergebnis nur noch -ln(2) abziehen mußt bzw. ln(2) dazuzählen.
Schwierig ist dabei eigentlich nur, nicht die Übersicht über die ganzen Vorzeichen zu verlieren.
Hast Du alles richtig gemacht, bekommst Du als Integral von 1 bis 6 den Wert
0,2830308623 heraus, den Du nur noch mit 25π multiplizieren mußt, um das Rotationsvolumen von 22,22919194 Kubikeinheiten zu bekommen.
Herzliche Grüße,
Willy
