Spezielle Lösung?
Hallo,
Gegeben ist die Differentialgleichung y
y''(x)+2y'(x)+2y(x)=2x
Die homogene Lösung ist:
yh(x) = C1*e^(-1+i)x + C2*e^(-1-i)x
Wie komme ich auf die spezielle Lösung?
Kann mir wer bitte helfen??
3 Antworten
Ich würde mal den linearen Ansatz:
y_S(x) = a*x + b
versuchen; dann ist y‘‘ = 0 und y‘ = a, eine Konstante, so dass Du durch geeignete Wahl von a und b auf den inhomogenen Anteil 2x kommen solltest…
Wieso hast Du 2 anstatt allgemein a gewählt? Koeffizientenvergleich bei Einsetzen in die DGL ergibt ein lineares 2x2 Gleichungssytem, das nach a und b gelöst werden kann:
Faktor vor dem linearen Anteil auf der linken Seite muss 2 ergeben, das absolute Glied auf der linken Seite muss 0 sein (linke Seite = rechte Seite = 2*x + 0)
Ich verstehe das nicht ganz. Wie soll ich anfangen? Was soll ich ableiten und einsetzen?
y = ax + b
y‘‘ + 2y‘ + 2y = 0 + 2*(ax + b)‘ + 2*(ax + b) = 2a + 2*(ax + b) = 2ax + 2*(a+b) =! 2x + 0
also 2a = 2 und 2*(a+b) = 0, somit a = 1 und b = -1
y = x - 1
Danke dir, das mit 2 unbekannte war für mich bisschen verwirrend :).
y'' + 2y'+ 2y = 2x
m² + 2*m + 2 = 0
Lösungen: m1 = -1-i, m2 = -1+i
Somit lautet die homogene Lösung
Taucht in der komplexen Lösung e^(iax) und e^(-iax) mit a€R auf, kann man diese durch cos(ax) und sin(ax) ersetzen, falls man nur noch reelle Koeffizienten zulässt.
Die Störfunktion der DLG lautet g(x) = 2x. Das ist ein Polynom erster Ordnung. Daraus folgt für die partikuläre Lösung der Ansatz
yp = A + B*x
yp' = B
yp'' = 0
Eingesetzt in die DLG:
0 + 2B + 2*(A+B*x) = 2x
Daraus folgt B = 1 und A=-1
Allgemeine Lösung:
Einen Ansatz ausprobieren. Zum Beispiel ein Polynom
Habe mal diesen Ansatz genommen
ys=2x+A
ys'=2
ys''=0
eingesetzt und für A=-x-2 rausbekommen, und die Ergebnis ist
ys=2x-x-2=x-2
Ich glaube aber, dass das falsch ist. :)
Wie komme ich auf die richtige Lösung