Differenzengleichung 2. Ordnung?
Folgende Ausgangslage:
Ich habe nun mal die Differenzengleichung umgestellt und die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung berechnet und komme auf:
yk = c1 x 2^k + c2 x (-3)^k
Nun ersetze ich yk für die Ausdrücke in a), b), c), etc. und schaue, ob das möglich ist.
Beispielsweise c)
(-3)^k = yk = c1 x 2^k + c2 x (-3)^k wäre machbar, wenn c1=0 und c2=1
Nun meine beiden Fragen dazu:
1) Ist dies das richtige Vorgehen um die Aufgabe zu lösen? Habe leider keine Lösungen dazu.
2) Wie schliesse ich daraus auf die ersten 5 Glieder der Zahlenfolge?
Vielen Dank.
1 Antwort
1) Ist dies das richtige Vorgehen um die Aufgabe zu lösen? Habe leider keine Lösungen dazu.
Es ist nicht „das“ richtige Vorgehen. Es ist nur „ein“ mögliches Vorgehen, um die Aufgabe zu lösen. Aber, ja: Diese Vorgehensweise führt zum Ziel.
Ich hätte bei der Aufgabe gar nicht die allgemeine Lösung berechnet. Um zu überprüfen, ob es Lösungen der Differenzengleichung sind, muss man einfach nur die Folgen in die Differenzengleichung einsetzen, und schauen, ob die so entstandene Gleichung für jede natürliche Zahl k wahr ist.
Beispielsweise bei den Teilaufgaben (a), (b), (c)...
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2) Wie schliesse ich daraus auf die ersten 5 Glieder der Zahlenfolge?
Setze einfach k = 0, k = 1, k = 2, etc. in die entsprechende Funktionsgleichung der Zahlenfolge ein.
Bei Teilaufgabe (a) hat man beispielsweise yₖ = 0 gegeben. Setzt man da k = 0 ein, erhält man y₀ = 0. Wenn man k = 1 einsetzt, erhält man y₁ = 0. Wenn man k = 2 einsetzt, erhält man y₂ = 0. Und so weiter.
Für die in den Teilaufgaben (a), (b), (c) gegebenen Folgen erhält man für die jeweils ersten 5 Folgenglieder dementsprechend...
Einfach einsetzen darfst du nicht?
Ähm, doch. Wie kommst du darauf, dass man das nicht dürfte?
So ist doch gerade eine Lösung einer Gleichung definiert: Wenn man eine Lösung in die Gleichung einsetzt, erhält man eine wahre Aussage. [Umgekehrt gilt auch: Wenn man es einsetzt und keine (allgemein) wahre Aussage entsteht, so handelt es sich um keine Lösung.]
Demnach ist das Einsetzen und Überprüfen, ob eine wahre Aussage entsteht, doch evtl. sogar das erste, was einem dazu einfallen könnte.
Einfach einsetzen darfst du nicht?