Seiten eines Parallelogramms berechnen?
Wie kann man eigentlich die Seitenlängen (a ; b) eines Parallelogramms berechnen, wenn nur die beiden Höhen (ha 1,5 m ; hb 13 m) und die lange Diagonale (22,204 m) bekannt sind?
3 Antworten
Ich habe dein Parallelogramm mal erstellt (mit der Annahme, dass "die" Diagonale die längere der beiden ist).
Alles, was du brauchst, ist ein Winkel des Parallelogramms, z. B. der am Ursprung.
Der Winkel zwischen h(a) = 1,5 und der Diagonalen ist A = arccos(1,5 / 22,204).
Der Winkel zwischen der Diagonalen und h(b) = 13 ist B = arccos(13 / 22,204).
Somit ist der Winkel zwischen h(a) und h(b) gerade A + B und der Winkel zwischen h(a) und b gerade C = A + B – 90°.
Die - in diesem Fall - kürzere Seite des Prallelogramms ist damit
1,5 / cos(C) ≈ 2,35
und die - in diesem Fall - längere Seite dann
22,204 sin(A) – 1,5 tan(C) ≈ 20,35.
Allgemein lassen sich also die Seitenlängen a und b eines Parallelogramms mit einer Länge L der längeren Diagonalen und den Höhen h(a) und h(b) wie folgt berechnen:
a = h(a) / cos(arccos(h(a) / L) + arccos(h(b) / L) – 90°)
b = L sin(arccos(h(a) / L)) – h(a) tan(arccos(h(a) / L) + arccos(h(b) / L) – 90°)
Wenn aber die Länge der kürzeren Diagonalen l gegeben ist, sehen die Formeln so aus:
a = l sin(arccos(h(a) / l)) + h(a) tan(arccos(h(a) / l) – arccos(h(b) / l) – 90°)
b = h(a) / cos(arccos(h(a) / l) – arccos(h(b) / l) – 90°)
Man sieht gewisse ähnliche Strukturen ;)
Die kannst du aber aus den Bedingungen ermitteln. Siehe Antwort (versuche gerade noch eine beschriftete Skizze einzufügen).
gestrichelt nenne ich x
.
Pythagoras
.
e² = ha² + (a+x)²
b² = ha² + x²
.
e, ha sind bekannt
a , b und x nicht
Eine Unbekannte zu viel
Aber : Fläche P ist entweder a*ha oder b*hb
Also kann man a oder b ersetzen
a = b*hb/ha
b = a*ha/hb
mit den bekannten Werten
b = 3/26 * a
.
e² = ha² + (a+x)²
(3/26)² * a² = ha² + x²
Unbekannt noch a und x
a = wurzel( (ha²+x²) * (26/3)² )
e² - (a+x)² = ha²
b² - x² = ha²
.
e² - (a+x)² = b² - x² = ha²
( 3000*( 1.03 * ( 1.03^10 - 1 ) ) / 0.03
Die geometrischen Überlegungen münden in einer Barwertformel? Seitenlänge mit 3% Zins berechnet? :-)
Man könnte damit beginnen, mit der langen Diagonale, ha und der verlängerten Seite a ein rechtwinkliges Dreieck zu bilden.
Auch diese Seite ist bekannt = 18 m .
Mit 13² + 18² = 22,2036² wurde die Diagonale berechnet.
Siehe meine Antwort (habe als verlängerte Seite natürlich auch 18 raus, wie man der Skizze entnehmen kann). Für die Rechnung reicht aber die Länge der Diagonalen.
Winkel sind nicht bekannt!