Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen (ganzrationale Funktionen)?
Hallo,
ich schreibe morgen eine Klausur und war leider während der Stunde nicht da in der wir dieses Thema durchgenommen haben. Meine KlassenkameradenInnen können es mir jedoch auch nicht erklären, da sie es selber nicht verstanden haben. Wir haben nun zwar die Lösungen zu den Aufgaben, jedoch würde ich die Lösung auch gerne nachvollziehen können… kann mir jemand bitte helfen? Mir geht es nur um die Aufgabe 6.
LG Fenja
3 Antworten
Zum Prinzip:
Die Achsenschnittpunkte sind die Punkte, bei den x=0 ist für die y-Achse und y=0 für die x-Achse.
Schaue dir dazu mal ein Koordinatensystem an, dann sollte es klar sein.
Zur Berechnung:
y-Achse ist einfach. Du setzt für x null in die Funktion ein, dann bekommst du den y-Wert
Für die x-Achse musst du die Nullstellen berechnen. Dazu setzt du die Funktionsgleichung gleich null. Das zu lösen ist nicht immer ganz einfach. Es gibt da viele Möglichkeiten dafür, vielleicht kennst du schon einige davon.
Bei der a) klammerst du x^2 aus. In der Klammer steht dann eine quadratische Funktion, die du mit der abc oder pq-Formel beispielsweise lösen kannst. Die erste Lösung ist aber schon mal null, da dann jeder einzelne term Term wird.
Bei b) gehst du in der ersten Klammer ähnlich vor. Die 2. und 3. zeigen dir direkt zwei Nullstellen (-3 und 2).
c) gleiches Prinzip. Behandle jede Klammer einzeln.
2x⁴ - 20x³ + 50x² = 0
um hier den. S.v.Nullp. anwenden zu können, muss man erst noch ausklammern.
2x² bietet sich an (wahlweise auch "nur" x²)
2x²(x² - 10x + 25) = 0
Nullstellen:
2x² = 0
daraus bekommt man x_1 = 0
und aus x² - 10x + 25 = 0 bekommt man x_2 = 5
Wie kommt man darauf? pq- oder abc-Formel.
.
bei b und c ähnlich. Auch da muss man tlws. noch umformen, bevor man alle Nullstellen bestimmen kann..
bei b)
0 = (x⁷ - 4x⁶)(x + 3)(x - 2)
die beiden hinteren Klammern sind nicht das Problem,:(x + 3) = 0 und (x - 2) = 0 sollten leicht lösbar sein.
Bei (x⁷ - 4x⁶) = 0 muss man erst noch umformen. Siehe oben, hie rx⁶ ausklammern.
bei c ist es auch die vordere Klammer
(x³ - x² + x) = 0
x ausklammern.
6a)
mit y
x = 0
führt zu 0 ( 0/0)
.
mit x
2x² * ( x² - 10x + 25 )
3 schnittpunkte
einer ist Null , die anderen beiden mit pq
.
6b)
nur vorne x^6 ausklammern
x^6 * ( x - 4)
daraus ergibt sich
0 ............ + 4 , -3 , +2
setzt man einen der Werte ein wird irgendwas Null und damit das Ganze
Für die Nullstellen:
Kennst du den Satz vom Nullprodukt?
"Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist."
Das generelle Prinzip kenne ich, das Problem liegt bei mir bei den Exponent, die höher sind als gewöhnlich. Wir haben zwar schon mit Exponenten gearbeitet die höher sind als zwei, jedoch mussten wir bisher noch nie Nullstellen dazu ausrechnen.
Ich kenne das generelle Prinzip schon, habe jetzt gerade jedoch Probleme die Schnittpunkte mit der x-Achse heraus zu finden. Zum Beispiel bei Nummer 6a verstehe ich den Rechenweg nicht. In den Lösungen steht x1=0 und x2=5, jedoch habe ich keine Ahnung wie die da hin gekommen sind.