Die Antworty von [Mikkey] ist nicht nur eine untere Einschätzung, sondern exakt. Dies folgt aus Lemmata 1+2.
Lemma 1. Es gibt eine Intervall der Länge 10³–1 von 7-stelligen Sonderzahlen.
Beweis. Sei 10⁶ < w < 10⁶+10³. Seien u, v 4-stellig. Dann gilt u,v ≥ 10³. Also u=v=10³, sodass uv=10³·10³=10⁶ < w, oder u>10³ oder v>10³, sodass uv>10³·(10³+1) =10⁶+10³ > w. In jedem Falle gilt uv ≠ w. Darum ist w eine Sonderzahl für alle w ∈ (10⁶; 10⁶+10³), welches ein Intervall der Länge 10³–1 bildet. QED.
Lemma 2. Es gibt kein Intervall der Länge > 10³–1 von 7-stelligen Sonderzahlen.
Beweis. Beachte, dass die Zahlen
10⁶=10³·10³,
10³·(10³+1),
10³·(10³+2),
·
·
·
10³·(10⁴ – 1)=10⁷–10³
alle keine Sonderzahlen sind. Intervalle bestehend aus Sonderzahlen dürfen diese also nicht enthalten. Deshalb müssen alle Intervalle, J, bestehend aus 7-stelligen Sonderzahlen
J ⊆ (10³k, 10³(k+1)) für ein 1≤k<10⁴–1
oder J ⊆ (10⁷–10³, 10⁷)
erfüllen. Diese Intervalle sind alle der Länge |J| ≤ 10³–1. Also gibt es kein Intervall der Länge > 10³–1 von 7-stelligen Sonderzahlen. QED.