Rechnen mit e Funktionsscharen?

Hallo liebe Community,

könnte mir vielleicht jemand erklären, wie ich in der a) auf die Werte k und b komme? Ich war leider krank und muss morgen kurzfristig ein Test darüber schreiben.

Vielen Dank schonmal :)

Answer 1

[321QWERTZ123]

Du hast es ja schon korrekterweise eingesetzt (nur die Notation mit den Klammern ist so nicht korrekt). Damit ergibt sich bei der ersten Gleichung:

$20=e^{k\cdot0+b}$

$20=e^b$

$b=\ln\left(20\right)$

Das kannst du jetzt in die zweite Gleichung einsetzen, um k zu erhalten:

$2,5=e^{k\cdot21+\ln\left(20\right)}$

$\frac{5}{2}=e^{21k}\cdot e^{\ln\left(20\right)}$

$\frac{5}{2}=e^{21k}\cdot20$

$\frac{1}{8}=e^{21k}$

$21k=\ln\left(\frac{1}{8}\right)$

$k=\frac{\ln\left(\frac{1}{8}\right)}{21}$

Answer 2

[evtldocha]

Also so habe ich noch niemals jemanden eine normale Zerfallsfunktion hinschreiben sehen - aber egal (mit m₀ = 20):

$m\left(t\right)=e^{k\cdot t+b}=e^be^{k\cdot t}=m_0\cdot e^{k\cdot t}$

Also (für t=0):

$e^b=m_0\ \ \ \ \ \ |\ \ \ln\ \ \rightarrow\ b=\ln\left(m_0\right)$ $b=\ln\left(20\right)$

(Was auch immer in dieser Schreibweise die Einheit des Logarithmus einer Masse sein soll)

$\frac{m\left(21\right)}{m_0}=\ e^{k\cdot21}=\frac{2,5}{20}\ \ \ \ \ |\ln$ $k=\frac{1}{21}\ln\left(\frac{2,5}{20}\right)$

Die Funktion ist also (mit Näherungswerten)

$m(t)=e^{−0,99\cdot t+2,996}$