Querschnitt eines Eisenbahntunnels?

Der Querschnitt eines Eisenbahntunnels hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die Maße gewählt werde, damit einer vorgegebenen Querschnittsfläche von 45m² der Umfang am kleinsten wird?

Ich muss jetzt für die Funktion U(r)= 45/r - π*r/2 + 2r + πr die Ableitungfunktion bilden und dann auf Extremstellen untersuchen.

Nun weiß ich aber nicht, wie ich dies machen kann.

Bitte genau Erklärungung danke!

Answer 1

[mjutu]

45/r - π*r/2 + 2r + πr

Diese Formel kann nicht stimmen. Der Umfang muss die Einheit Meter haben. Der erste Summand hat 1/m. Nebenbei würde man - π*r/2 + πr zu π*r/2 vereinfachen.

Comments

[Rhenane]

die 45 steht für den Flächeninhalt mit Einheit m² (ergibt sich, wenn man die Flächenformel für diesen Querschintt nach h umstellt), somit bleibt m übrig, wenn durch r (Einheit m) geteilt wird

[mjutu]

Wenn r der Durchmesser des Kreises (nennen wir es lieber d!) und damit auch die Grundfläche des Rechtecks ist, und h die Höhe des Rechtecks, ist der Gesamtumfang:

U(d,h) = d + pi * d / 2 + 2 * h

Nun hast du noch die Bedingung, dass die Gesamtfläche 45m^2 ist:

A(d,h) = 45m^2 = d * h + pi * d^2 / 8
h = (45m^2 - pi * d^2 / 8) / d =
  = 45m^2 / d - pi * d / 8

Das kann man nun in die obere Gleichung einsetzen:

U(d) = d + pi * d / 2 + 2 * (45m^2 / d - pi * d / 8)
     = d + pi * d / 2 + 90m^2 / d - pi * d / 4
     = d + pi * d / 4 + 90m^2 / d
     = d * (1 + pi / 4) + 90m^2 / d

Stimmt es bis hier hin? Bitte nachrechnen. Wenn man das ableitet, wird daraus:

U'(d) = (1 + pi / 4) - 90m^2 / d^2

Das musst du nun auf 0 setzen. Ich komme dann auf d = 25.35

[mjutu]

@mjutu

Okay, und wenn du r = d/2 setzt, passt deine Formel "45m^2/r + π*r/2 + 2r" doch wieder.

Answer 2

[Rhenane]

"Einfach" U(r) ableiten und Null setzen! Vorher besser, wie mjutu schon erwähnt hat, die "pi's" zusammenfassen.

Aus 45/r würde ich 45 * r^(-1) machen; dann kannst Du alles mit der Potenzregel ableiten.

Answer 3

[Tannibi]

Die Höhe des Rechtecks spielt keine Rolle?

Comments

[tomcruise459]

Nein ich soll alles in abhängigkeit von r berechnen, also U'(r)

[J0T4T4]

Vermutlich hängt sie von r ab

[Tannibi]

@J0T4T4

Das steht nicht in der Aufgabe.

[J0T4T4]

@Tannibi

Kann man nicht über die NB einen Zusammenhang zwischen r und h herleiten?

Ich dachte, der wäre hier bereits in die Zielfunktion eingesetzt.

[Tannibi]

@J0T4T4

Nein. Du kannst einen Halbkreis von ein paar Millimetern
Radius haben und ein Rchteck, das einen Kilometer hoch ist.

[J0T4T4]

@Tannibi

Wenn sie aber gemeinsam eine Fläche von 45m² haben sollen und die Fläche nur von h und r abhängig ist (was der Fall ist), dann lässt sich damit ganz klar eine Funktion h(r) aufstellen. Die Überreste der NB sieht man ja auch noch mit 45m²/r in der ZF.

Ich will nicht ausschließen, dass ich gerade absolut Murks sage, aber eigentlich muss das doch passen 😂

[Tannibi]

@J0T4T4

Aber es soll doch nicht h minimiert werden, sondern der Umfang,
und der ist von h und r abhängig.

Angenommen, du hast irgendwelche Werte für h und r,
die eine Fläche von 45m² ergeben. Jetzt verkleinerst du r,
dann kannst du immer ein größeres h finden, das das ausgleicht.

[J0T4T4]

@Tannibi

Ja genau, zu jedem r lässt ein h(r) finden, sodass eine Fläche von genau 45m² entsteht. Wenn man diese Vorschrift für h(r) in die Formel für den Umfang U(h,r) einsetzt, dann kommt man auf die angegebene Zielfunktion U(r).

[Tannibi]

@J0T4T4

Die Ziellfunktion ist der Umfang, der von h und r abhängt.
Man müsste eine Abhängigkeit zwischen h und r haben,
die es nicht gibt.

[mjutu]

@Tannibi

Doch: Die Gesamtfläche liefert einen Zusammenhang zwischen r und h. Siehe meine Antwort.

[Tannibi]

@mjutu

Du drehst dich im Kreis. Du kannst 45m² mit h = 0 und h = 1km erreichen,
je nach r.

[mjutu]

@Tannibi

Dann rechne es doch mal nach - ich habe d als Grundfläche des Dreiecks und Durchmesser des Kreises gesetzt und h ist die Höhe des Rechtecks:

A(d,h) = 45m^2 = d * h + pi * d^2 / 8

Das kann man nun nach h auflösen und in die Gleichung für den Umfang einsetzen, so dass der Umfang nur noch von d bzw r abhängt. Natürlich gibt es verschiedene Werte für d und h um auf eine bestimmte Fläche zu kommen. Aber trotzdem reicht das aus, um das Verhältnis zwischen d und h zu nutzen, um den Umfang so zu berechnen, dass er nur von d abhängt.

[J0T4T4]

@Tannibi

Was ist denn heute nur los mit dir? D: