Quadratische Funktion zeichnen ohne Wertetabelle?
Wie kann ich eine quadratische Funktion wie diese: f(x)=1(x-1)^2+0 in einen Graphen zeichnen ohne Wertetabelle? Dies wird nämlich Aufgabe in der nächsten Klausur sein und ich weiß nicht weiter. Schon mal lieben dank ;/
6 Antworten
Du hast hier die Scheitelpunktform der Parabelgleichung vorliegen:
f(x) = a(x - d)² + e
Hier liegt der Scheitelpunkt nämlich bei (d|e).
Deine Funktion sieht folgendermaßen aus:
f(x) = 1(x - 1)² + 0 = (x - 1)²
Der Scheitelpunkt deiner Parabel liegt also bei (1|0). Außerdem ist sie kongruent zur Normalparabel, da sie den Öffnungsfaktor 1 hat.
Wenn du keinerlei Hilfsmittel wie eine Parabelschablone verwenden darfst, würde ich dir empfehlen, einige Funktionswerte der Parabel im Kopf zu berechnen.
f(-1) = (-1 - 1)² = (-2)² = 4
f(0) = (0 - 1)² = (-1)² = 1
f(1) = (1 - 1)² = 0² = 0
f(2) = (2 - 1)² = 1² = 1
f(3) = (3 - 1)² = 2² = 4
Damit kannst du nun die Parabel skizzieren.
Wichtig ist, zu erkennen, dass der Scheitelpunkt an vorliegender Form schon abgelesen werden kann. :)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Hey! :)
In dem Fall musst du logischerweise die anderen Eigenschaften vom Graph nutzen, um den Graph zeichnen zu können.
Ablesen / Auswerten kannst du z.B. (aber auch nicht immer zwingend):
- y-Achsenabschnitt
- Nullstellen (Doppelte Nullstelle bei x = 1)
- Symmetrie
- Scheitelpunkt
Die Nullstellen kannst du in der gegebenen Funktion f(x) = 1(x-1)²+0 in der Klammer ablesen. Wichtig ist dabei immer, dass - nach rechts, und + nach links heißt. Auch hier steht dort "x-1" und die (doppelte) Nullstelle ist bei x = 1. Doppelt ist sie, weil das ganze zum Quadrat ist.
Kannst du ansonsten auch selbst berechnen.
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Bei der Symmetrie hast du 2 Fälle kennen gelernt:
Der Graph ist....
- ...Achsensymmetrisch zur y-Achse
- ...Punktsymmetrisch zum Ursprung
Dazu jeweils die Bedingungen:
►Achsensymmetrisch zur y-Achse:
f(-x) = -f(x)
Alle Exponenten sind gerade
Hier findest du mehr dazu:
http://www.mathebibel.de/achsensymmetrie-zur-y-achse
►Punktsymmetrisch zum Ursprung:
f(-x) = f(x)
Alle Exponenten sind ungerade.
Hier findest du mehr dazu:
http://www.mathebibel.de/punktsymmetrie-zum-ursprung
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►►►Beispiel:
Die Funktion lautet f(x) = x²
Du siehst, alle Exponenten sind gerade, somit muss die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse sein.
Machen wir die Probe:
f(-x) = f(x)
Das heißt, du setzt alle x-Werte minus und wenn am Ende die Funktion f(x) wieder raus kommt ohne die hinzugefügten negativen Vorzeichen, dann ist die Funktion auch tatsächlich Achsensymmetrisch.
f(-x) = -x²
Da du nun -x², also (-x) * (-x) rechnest, kommt natürlich + raus. Denn - mal - ergibt bekanntlich + !
Das heißt also:
f(-x) = x²
►►►Achsensymmetrisch zur y-Achse
Was heißt das jetzt für dich?
Schau dir dazu das Bild 1 an. Findest du hier auch nochmal ausführlich auf folgender Seite:
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/symmetrieverhalten.html
Die Achsensymmetrie zur y-Achse nennt man auch gerne Spiegelsymmetrie. Wie die Bedingung f(-x) = f(x) schon sagt, spiegelt sich jeder positive x-Wert eben wieder "links" als negativer x-Wert, um das mal so vorsichtig zu sagen.
Sprich: Wenn die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse ist wie z.B. die Funktion f(x) = x², dann wäre z.B. der Punkt P(-1|1) auch auf der "anderen Seite gespiegelt" und somit existiert auch der Punkt P2(1|1).
Wenn du in der Klausur also weißt, dass die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse ist, dann weißt du, dass du jeden Punkt schon einmal spiegelen kannst.
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Ich könnte dir dazu jetzt nochmal alle Themen zum eigentlichen Thema der quadratischen Funktionen aufzählen, was natürlich etwas viel wäre und hier glaube ich erst einmal genügt.
Wichtig ist, dass du den Stoff den ihr gelernt habt verstehst dun du eben auch Dinge wie die Symmetrie bestimmen (ablesen) und berechnen kannst.
Genauso musst du von der Scheitelpunktform (SPF) in die Normalform (NF) umformen können und anders herum. Alle diese Dinge sind später wichtig, um ohne eine Wertetabelle die Funktion zeichnen zu können.
Wenn du genaurere bzw. weitere Fragen hast, her damit! ;)
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Liebe Grüße
TechnikSpezi
Hier auch:
"►Achsensymmetrisch zur y-Achse:
f(-x) = -f(x)"
Es muss heißen: f(-x) = f(x)
Hast wohl einfach Punkt- und Achsensymmetrie vertauscht. ;-)
LG Willibergi
Na hervorragend -.-
Naja, scheine ich dort wirklich vertauscht zu haben...
Danke für den Hinweis! :)
Scheitelpunkt ablesen S(1 ; 0) einzeichnen und mit Schablone aus einem Papiergeschäft (oder selbst basteln) die Parabel einzeichnen.
Lieben dank, wird in der Klausur trz schwierig, darf keine Schablone verwenden :/
Ermittle den Scheitelpunkt und überlege, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Dann hast du schon mal die Grundform.
Eventuell noch die Steigung (1. Ableitung) an bestimmten Punkten bestimmen.
Ich weiß nicht, wie genau eine "Wertetabelle" definiert ist. Ich würde dennoch einzelne x-Werte einsetzen und die y -Werte berechnen und in den Graphen eintragen. Ich muss sie ja nicht in die Tabelle schreiben ;)
Ist doch einfach, einfach Werte einsetzen.
x = -2 ------>f(x) = 9
x = -1 ------>f(x) = 4
x=0 ------> f(x) = 1
x=1 ---->f(x) = 0
x =2 -----> f(x) = 1
x = 3 -----> f(x) = 4
das ist im prinzip eine wertetabelle aber er will es ohne wertetabelle lol
"►Punktsymmetrisch zum Ursprung:
f(-x) = f(x)"
Kleiner Vorzeichenfehler.
Es muss heißen: f(-x) = -f(x) ^^
LG Willibergi