Position-Zeit-Funktion bei einer Zeitverzerrung?
Angenommen man hat ein Feld F(x,y), welches die Zeitverzerrung an einen bestimmten Punkt angibt.
Einen Weg W durch dieses Feld, welcher durch w(x(ε),y(ε)) parametrisiert wird.
Einen Startpunkt S(x⁰,y⁰) auf W.
Und eine Geschwindigkeit v eines Teilchen welches den Weg entlangwandert.
Wie bekommt man eine Funktion, P(t) welche die Position des Teilchens zu einen Zeitpunkt t angibt?
Danke im Voraus.
Ist das ein abstraktes Gedankenexperiment, oder hat's einen realen Hintergrund? Zeitverzerrung an was für Punkten (geografischen? Dimension? jeder Punkt unterschiedlich?)?
Ein Gedankenexperiment. Ich habe mir die Funktion vorgestellt, dass sie in einen 2-dimensionelen Raum an jeden Punkt die Verzögerung angibt. 1= keine Verzögerung, 0 Zeit stillstand
Das heisst, die Zeitverzerrung ist nur eine Funktion des Ortes?
Und die Geschwindigkeit somit auch, nebst der Funktion eines infinitesimal kurzen Zeitabschnitts?
Genau
Ist F(x,y) ein Modell für ein Gravitationsfeld?
F(x,y) gibt nur eine Zeitverzögerung an. F(x,y)=1 wäre keine Zeitverzögerung und bei F(x,y)=0 würde die Zeit stillstehen.
2 Antworten
In den Nachfragen hast du gesagt, dass F(x, y) = 0 einen Zeitstillstand bedeutet und F(x, y) = 1 die normale Zeitgeschwindigkeit angibt. Ich nehme mal an, du meinst damit eine relative Zeitverzerrung? Also wir beobachten das system mit unserer konstanten Zeit und das Teilchen erfährt die Zeitänderung? Dann wäre der Effekt der Zeitänderung für uns aber nichts weiter als eine Änderung der Geschwindigkeit des Teilchens.
Wenn die alte Geschwindigkeit definiert war als
ist die neue Geschwindigkeit einfach
mit
wobei t unsere Zeit und t' die Zeit des Teilchens darstellt. Wenn F = 0 steht das Teilchen also still und wenn F = 2 verdoppelt sich die Geschwindigkeit des Teilchens (aus der Beobachter Perspektive). Aus unserer Perspektive würde das Teilchen also bei der Zeit t am folgenden Punkt ankommen:
was dann funktioniert, solang dein epsilon irgendwie mit der Zeit des Beobachters in Verbindung gebracht werden kann und deine gegebene Geschwindigkeit die aus Teilchenperspektive darstellt (sonst ist es ja eh witzlos). Ansonsten müsste man sich noch stark Gedanken um eine geschicktere Parametrisierung machen etc.
Beachte, dass das witzig wird, sobald F=0 irgendwo auftritt, weil das Teilchen dann stehenbleibt und sich nie mehr weiterbewegen wird, weil es keine Zeit mehr für das Teilchen gibt die vergehen kann bis F≠0. Das Integral divergiert dann.
Hallo, Ich danke ihnen für ihre Antwort. Es scheint wir sind auf verschiedene Lösungen gekommen. Könnten Sie mein Lösungsweg anschauen. Ich habe diesen als Antwort auf meine Frage gepostet.
Dies wäre meine Lösung.
Ich kam auf normalen Weg nicht weiter also habe ich es mit der Inversfunktion probiert.
Ich habe vergessen die Wegfunktion in das F(x,y) einzusetzen. Es sollte F(w(ε)) unter dem Bruchstrich heißen, da sich die Zeitverzerrung immer ändert.
Ja genau, aber ich glaube unsere Lösungen sind schon quasi gleich (bis auf gewisse Konventionen von Beobachter-Standpunkte). Du argumentierst halt mit der zurückgelegten Zeit und ich versuche die Position direkt aus zu integrieren. Wir beide brauchen dann irgendwie ε(t) bzw. t^(-1)(ε).
Kannst du nicht einfach definieren ε=t ? Dann parametrisierst du den Weg direkt über die Zeit. Das wird alles wahrscheinlich einfacher machen.
Ich glaube nicht, dass man ε=t setzten kann. Wenn ε=t, dann V×F(w(t⁰))×dt=ds⁰.
Dies wäre ein ds im Integral.
Für das nächste ds gilt V×F(w(t⁰+dt))×dt=ds¹, heißt die nächste Position in der Formel ist |w(t⁰+dt)| vom Startpunkt entfernt. Die ausgerechnet Distanz liegt jedoch bei V×F(w(t))dt. Also nimmt die Funktion ein andere Position für die Zeitverzerrung als das Teilchen eigentlich besitzt.
Darum glaube ich, dass wenn ε=t, das Integral von der eigentlichen Distanz langsam abweicht.
Da hast du natürlich recht, aber nur, wenn du die gleiche Zeit einsetzt. Wir integrieren ja denke ich mal über die Beobachter Zeit. Dann könntest du evtl. die Eigenzeit des Teilchens benutzen als Parameter? Aber das wäre ja schon einfach wieder irgend ein Parameter, den man wieder bestimmen muss, also hat man wohl nichts gewonnen. War nur mal eine Idee.
Ich konnte ja leider ε(t) nicht definieren, sondern nur t(ε). Da die Zeit, ja nur steigen kann sollte die Inversfunktion von t(ε) auf jeden Fall im uns Interessierenden Bereich gleich wie ε(t) sein. Und da w(p(ε)) eine Lösung sein sollte, wäre w(t^-1(ε)) nicht auch eine?
Leider kann man diese nicht in einen Ausdruck bringen, da man erst t(ε) definieren muss. Mir ist auch kein Ausdruch für "Invers einer Funktion", wie z.B. d/dx für "Ableitung einer Funktion" bekannt.
Absolut! Die Notation ε^(-1)(t_p) wäre aber glaube ich besser, da du die Funktion w ja auch mit ε als Argument, und nicht mit der Zeit definiert hattest. Also:
P(t) = w(ε^(-1)(t_p))
Inverse der Funktion oder auch "Umkehrfunktion" gibt es durchaus als Begriff. Wie du aber auch schon gesagt hast ist das natürlich nicht immer eindeutig definiert. Du kannst es aber abschnittsweise definieren, wodurch es innerhalb von gewissen Zeitabschnitten doch wieder eindeutig wird. Wenn dein Teilchen immerhin den Zielort P mit der Parametrisierung w(ε) öfters erreicht, welche Lösung soll deine Formel dann angeben? Die erste? Alle?
Woher kommt hier aber die F(x, y) Funktion in Gleichung (2)? Das sollte dann ein anderes v sein oder, nicht das selbe wie in (1)?
Dann kannst du dein Zeitdifferential doch einsetzen in v = ds/dt => ds = v*dt und so direkt die Position s nach einer gewissen Zeit t berechnen (wie in meiner Lösung). Das einzige was sich dann unterscheidet ist, dass du mit F multiplizierst und ich dadurch teile, was wohl einfach eine unterschiedliche Perspektive ist (also ob wir die Geschwindigkeit des Beobachters oder des Teilchens nehmen)?