Winkel im Koordinatensystem berechnen
Hallo erstmal,
Ich habe in einem ko-system zwei Punkte A(3|1) und B(2|5).
Durch diese Punkte ziehe ich eine Gerade.
Nun möchte ich den Winkel zwischen dieser Geraden und der Senkrechten zur x-Achse durch punkt A. Also geht die zweite gerade durch (3|1) und z.b. (3|5).
Ich hoffe ihr versteht micht und könnt mir helfen.
Den Winkel brauche in in einem Java-Programm
MFG Martin
3 Antworten
Ich habe mal ne Skizze dazu gemalt, sehe ich das so richtig?
Angenommen, es ist so. Dann kannst du ja eine Geradengleichung von A und B bestimmen. Wir wollen das ganze als vektorielle Schreibweise auffassen:
g: x = (3|1) + r * (-1 | 4).
Nun die Geradengleichung deiner Senkrechten:
s: x = (3|1) + s * (0 | 1).
Es gilt: cos(alpha) = (-1 | 4) * (0 | 1) / (|(-1 | 4)| * |(0 | 1)| )
= 4 / Wurzel 17 ~ 0,970.
=> Alpha ~ 14,036°...
Alternativ hätte man das ganze mit dem Tangens und der Steigung deiner Geraden ausrechnen können.
Uff... Das ist alles nicht so schnell zu erklären, mit Funktionen (eine Geradengleichung ist eigentlich eine Funktion) und Vektoren beschäftigt man sich in der ganzen Oberstufe. Vielleicht hast du aber schonmal sowas gesehen:
y = 2x + 1. Das ist eine Geradengleichung. Die 2 gibt hierbei die Steigung der Geraden an, die 1 den y-Achsenabschnitt, x ist deine Laufvariable und y der zu x gehörige Wert.
Diese Gleichung sagt eigentlich folgendes aus: Wenn ich einen Schritt nach rechts gehe, muss ich 2 Schritte nach oben gehen (das liegt an der Steigung 2). Diese Bewegung kann man als Vektor auffassen, nämlich (1 | 2).
Ich kann jeden Punkt auf der Geraden erreichen, wenn ich von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Vielfaches dieser Bewegung ausführe. Beispielsweise liegt der Punkt (0; 1) auf der Geraden sowie der Punkt (3; 7).
Befinde ich mich auf dem Punkt (0; 1) kann ich drei Schritte nach rechts gehen. Dann muss ich aber 3 * 2 Schritte nach oben. Vektoriell aufgeschrieben bedeutet das:
(0|1) + 3 * (1|2) = (3|7).
Je nachdem wie ich den Faktor vor der (1|2) ändere, komme ich auf einen anderen Punkt auf der Gerade. Meine Geradengleichung lautet also allgemein:
g : x = (0|1) + r * (1|2), wobei r ein beliebiger Parameter ist.
Wenn du das nicht verstehst, ist das auch nicht so schlimm, wie gesagt lernst du es erst in der Oberstufe. Wichtig ist ja zunächst nur, dass du den Winkel für dein Programm kennst ;)
Okay vielen, vielen Dank :)
Ich muss nur leider in meinem Programm immer wieder diesen Winkel automatisch ausrechnen lassen und die Koordinaten aus meiner Frage waren nur Beispiele.
Diese Schritte habe ich aber leider nicht ganz vestanden:
Es gilt: cos(alpha) = (-1 | 4) * (0 | 1) / (|(-1 | 4)| * |(0 | 1)| )
= 4 / Wurzel 17 ~ 0,970.
=> Alpha ~ 14,036°...
Da habe ich leider vorausgesetzt, dass du den ganzen Kram schon gelernt hast ^^ Es gibt einen Satz, der folgendes besagt:
Der Cosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren ist gleich dem Skalarprodukt der Vektoren dividiert durch das Produkt der Längen der Vektoren.
Zunächst zum Skalarprodukt. Ich habe zwei Vektoren (a | b) und (c | d) gegeben. Beim Skalarprodukt rechne ich nun wie folgt:
(a | b) * (c | d) = (a * c) + (b * d). Es kommt also eine Zahl raus und kein Vektor!
Beispiel: (-1 | 4) * (0 | 1) = (-1 * 0) + (4 * 1) = 0 + 4 = 4.
Nun zu den Längen der Vektoren... Nach dem Satz des Pythagoras gilt: Die Länge des Vektors (a | b) ist gleich Wurzel (a² + b²).
Beispiele: | (-1 | 4) | = Wurzel ((-1)² + 4²) = Wurzel (1 + 16) = Wurzel 17.
| (0 | 1) | = Wurzel (0² + 1²) = Wurzel 1 = 1.
Also gilt: | (-1 | 4) | * | (0 | 1) | = Wurzel 17 * 1 = Wurzel 17.
Und so komme ich auf den Bruch, der in deiner vorletzten Zeile steht.
Nun ist 4 / Wurzel 17 = cos(alpha). Nun muss ich die Umkehrfunktion des cosinus anwenden, um alpha auszurechnen. Die Umkehrfunktion des cosinus ist der arcus-cosinus (kurz: arccos).
=> alpha = arccos(4 / Wurzel 17). Wenn du das in den Taschenrechner oder sonstwo eintippst, kommst du auf etwa 14,036°
Okay ich versuche es mal jetzt. Vielen dank :)
das geht glaub nur über vektorechnung. Im Beispiel auf website dann z=0
hattest du schon sinus, cosinus und tangens?
Also die Skizze ist richtig, könntest du mir aber bitte kurz erklären was eine Geradengleichung und die vektorielle schreibweise ist?
Weil ich bin erst in der 9. klasse und da hatten wir das noch nicht.