Polynome N Nullstellen?
Hi,,
ich wollte fraen wieso Polynome maximal N Nullstellen haben können.
3 Antworten
Ein Polynom über einen Körper zerfällt in seinem algebraischen Abschluss in Linearfaktoren. Wenn der Grundring Nullteilerfrei ist folgt daraus das es höchstens # Linearfaktoren= Deg Polynom Nullstellen gibt. Allgemein kann ein Polynom mehr Nulltellen haben z.b..Polynome über Mat(n) oder C(R) , den Quadratischen Matrizen über C/ Stetige Funktion über R ..
Wenn eine Nullstelle x_0 vorliegt, kann man den Linearfaktor (x - x_0) mit einer Polynomdivision abspalten, wodurch der Grad des Polynoms sich um eins verringert. Das kann man nur so oft machen wie der Grad des ursprünglichen Polynoms war.
Angenommen ein Polynom hat n reelle Nullstellen a1 .. an, wobei einzelne Nullstellen ak identisch sein können (mehrfache Nullstelle). Dann lässt sich das Polynom wie folgt darstellen:
f(x) = b*(x - a1)*(x - a2)* ... * (x - an)
Beim Ausmultiplizieren der n Klammern ergibt sich die höchste Potenz zu b*x^n, d.h. das Polynom ist dann auch vom Grad n.
Stimmt nur über algebraischen abgeschlossenen Körpern..Für R ist b ein Produkt aus ( x^2+|am|^2) und c .