Physik Formel Relativitistische Geschwindigkeitsaddition?

Hallo Zusammen,

ich habe selber versucht, die Formel nach u‘ und v umzustellen, habe es aber dennoch nicht hinbekommen. Ich habe es nie hinbekommen u‘ wegzukürzen. Ich frage aus Verzweiflung und nicht aus Faulheit! HIER ein Bild der Formel:

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

[SlowPhil]

Hallo Fridastisch,

sowohl LoverOfPi als auch mihisu haben Dir gezeigt, wie sich die Formel durch Äquivalenzumformung nach u' auflösen lässt. mihisu hat das explizit gemacht, aber wenn Du die Formel für die Umstellung nach u' hast, brauchst Du nur u' und v zu vertauschen, da die ursprüngliche Formel in u' und v symmetrisch ist.

Allerdings führt schon eine einfache Überlegung auf die richtige Formel:

Die Formel rechnet die Bewegung eines Körpers oder Teilchens B* relativ zu einem Körper B und die relativ zu einem mit konstanter 1D-Geschwindigkeit v relativ zu B bewegten Körper B' ineinander um und gilt nur, wenn die Geschwindigkeiten aller Körper relativ zueinander kollinear sind, d.h., dieselbe Richtung haben (oder entgegengesetzte, dann sind sie negativ¹)).

• u ist die 1D-Geschwindigkeit, mit der sich B* relativ zu B bewegt und
• u' ist die 1D-Geschwindigkeit, mit der sich B* relativ zu B' bewegt.

B bewegt sich mit −v relativ zu B', deshalb brauchst Du für die Umrechnung von u nach u' statt umgekehrt nur die ursprüngliche Formel zu nehmen und v durch −v zu ersetzen:

(1.1) u = (u' + v)/(1 + u'v) ²)

<=>

(1.2) u' = (u − v)/(1 − uv).

Kennen wir u und u', aber nicht v, müssen wir nach v auflösen; das können wir ohne lange Umformungen tun, indem wir in (1.2) u' mit v vertauschen und

(1.3) v = (u − u')/(1 − uu')

erhalten. Eine minutiöse Äquivalenzumformung muss natürlich dieselben Resultate liefern und tut es zum Glück auch.

Die o.g. Formeln kommen freilich nicht von ungefähr. Vielleicht sind Dir schon die LORENTZ- Transformation ein Begriff. Die für eine Bewegung in x-Richtung eines von B aus definierten Koordinatensystems Σ und in x'-Richtung eines von B' aus definierten Koordinatensystems Σ' ist

(2.1) Δt' = γ(Δt − v∙Δx) ²)
(2.2) Δx' = γ(Δx − v∙Δt)

mit

(3) γ := 1/√{1 − v²},

und

(4.1) Δt = γ(Δt' + v∙Δx')
(4.2) Δx = γ(Δx' + v∙Δt'),

wobei Δx i. Allg. irgendeine Strecke in Σ und Δx' die entsprechende in Σ' und Δt i. Allg. irgendeine Zeitspanne in Σ und Δt' die entsprechende in Σ' ist.

Natürlich können wir hier die Anwesenheit von B* an zwei verschiedenen Orten x₁ und x₂ = x₁ + Δx zu den Zeiten t₁ und t₂ = t₁ + Δt (bzw. den Orten x'₁ und x'₂ = x'₁ + Δx' zu den Zeiten t'₁ und t'₂ = t'₁ + Δt') einsetzen.

In diesem Fall ist auch Δx = u∙Δt bzw. Δx' = u'Δt'. Setzen wir das z.B. in (4.1-2) ein, ergibt sich

(5.1) Δt = γ(Δt' + vu'Δt') = γΔt'(1 + vu')
(5.2) Δx = γ(u'Δt' + vΔt') = γΔt'(u' + v),

und damit ist

(6) Δx⁄Δt = (u' + v)/(1 + vu'),

was freilich wegen u = Δx⁄Δt mit (1.1) identisch ist. Einsetzen in (2.1-2) liefert (1.2).

________

¹) Jedes der o.g. Formelzeichen steht nicht für eine "Geschwindigkeit" im umgangssprachlichen Sinne, also ein Tempo (engl. speed), sondern für eine – nämlich die einzige von 0 verschiedene – Komponente der Geschwindigkeit im eigentlichen physikalischen Sinne (engl. velocity), einer Vektorgröße (Größe mit Richtung) mit maximal 3 Komponenten.

Und eine Komponente eines Vektors kann auch negativ sein, was bedeutet, dass sich ein Körper in entgegengesetzte Richtung bewegt.

²) Um Schreibarbeit zu sparen, verwende ich sog. Natürliche Einheiten, in denen Strecken dieselbe Einheit wie Zeitspannen haben (wobei 1s ≈ 3×10⁸ m ist; für praktische Belange kann man die Nanosekunde, ca. 30cm, verwenden). Dadurch ist automatisch c = 1.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – + Auseinandersetzung mit Gegnern der RT

Answer 2

[mihisu]

$u=\frac{v+u'}{1+\frac{v\cdot u'}{c^2}}$

Zunächst einmal möchte man in der Regel die Variablen, nach denen man die Gleichung auflösen möchte, nicht im Nenner eines Bruches haben. Dementsprechend kann man hier zunächst mit 1 + v⋅u'/c² multiplizieren.

$u\cdot \left(1+\frac{v\cdot u'}{c^2}\right)=v+u'$

$u+\frac{u\cdot v\cdot u'}{c^2}=v+u'$

====== 1. Fall: Nach v auflösen ======

$u+\frac{u\cdot v\cdot u'}{c^2}=v+u'$

Sortiere die Summanden, die v enthalten, auf eine Seite (beispielsweise nach links) und die anderen Summanden auf die andere Seite (beispielsweise nach rechts). Also: Subtrahiere v und subtrahiere u.

$\frac{u\cdot v\cdot u'}{c^2}-v=u'-u$

Auf der linken Seite kann man nun v ausklammern, damit die Variable v nur noch einmal vorkommt.

$v\cdot \left(\frac{u\cdot u'}{c^2}-1\right)=u'-u$

Dividiere dann durch u⋅u'/c² - 1, damit v allein auf der linken Seite stehen bleibt.

$v=\frac{u'-u}{\frac{u\cdot u'}{c^2}-1}$

Damit hat man die Gleichung nach v aufgelöst. Da normalerweise u' < u und u⋅u'/c² < 1 ist, sind Zähler und Nenner deswegen negativ sind, könnte man noch mit -1 erweitern. Dann ist es evtl. etwas angenehmer die rechte Seite zu berechnen, wenn man dann konkrete Werte einsetzt.

$v=\frac{u'-u}{\frac{u\cdot u'}{c^2}-1}=\frac{-1\cdot \left(u'-u\right)}{-1\cdot \left(\frac{u\cdot u'}{c^2}-1\right)}=\frac{-u'+u}{-\frac{u\cdot u'}{c^2}+1}=\frac{u-u'}{1-\frac{u\cdot u'}{c^2}}$

Ergebnis:

$v=\frac{u-u'}{1-\frac{u\cdot u'}{c^2}}$

====== 2. Fall: Nach u' auflösen ======

Das geht im Grunde vollkommen analog zum ersten Fall.

$u+\frac{u\cdot v\cdot u'}{c^2}=v+u'$

[Subtrahiere u' und subtrahiere u.]

$\frac{u\cdot v\cdot u'}{c^2}-u'=v-u$

[Klammere u' aus.]

$u'\cdot \left(\frac{u\cdot v}{c^2}-1\right)=v-u$

[Dividiere durch u⋅v/c² - 1.]

$u'=\frac{v-u}{\frac{u\cdot v}{c^2}-1}$

[Erweitere den Bruch auf der rechten Seite mit -1.]

$u'=\frac{u-v}{1-\frac{u\cdot v}{c^2}}$

Answer 3

[LoverOfPi]

So stellst du deine Formeln um. Ich zeige dir das Umstellen nach u':

$u=\frac{v+u'}{1+\frac{v\cdot u'}{c^2}}\ \mid\cdot\left(1+\frac{v\cdot u'}{c^2}\right)$ $u+\frac{u\cdot v\cdot u'}{c^2}=v+u'\ \mid-v;\ -\frac{u\cdot v\cdot u'}{c^2}$ $u-v=u'-\frac{u\cdot v}{c^2}\cdot u'\ \mid Ausklammern$ $u-v=u'\left(1-\frac{u\cdot v}{c^2}\right)\ \mid:\left(1-\frac{u\cdot v}{c^2}\right)$ $u'=\frac{u-v}{1-\frac{u\cdot v}{c^2}}$ Fertig :D Versuche erstmal selber, nach v umzustellen. Das geht genauso. :)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Physik im Nebenfach