Permutationen von Matrizen als Gruppe verknüpfen?

Diese Aufgabe wird von vielen als überdimensional schwer empfunden und ich komme nicht wirklich mit ihr zurecht.

Zu a) Was ist damit gemeint: Verknüpfungstabelle? Eine Verknüpfungstabelle stellt man in der Regel auf, wenn man bspw. die Werte 1,2,3,4,5 und 5,6,7,8,9 multiplikativ miteinander verknüpfen will. Hier ist weder angebeben, ob die Verknüpfung multiplikativ, additiv oder "pipi"-tiv. ist?

Ich nehmen an, das [123] jeweils mit [123], [213], [321], [132], [231] verknüpft werden soll, und das Vorzeichen ermittelt werden soll. Also jeweils ob es +1 oder -1 ist.

Was bedeutet dann "Die Inverse zu den Gruppenelementen angeben". EInfach jedes +1 in ein -1 umwandeln?

Answer 1

[mihisu]

Hier ist weder angebeben, ob die Verknüpfung multiplikativ, additiv oder "pipi"-tiv. ist?

Die Verknüpfung ist die "Hintereinanderausführung der Permutationen". Die Hintereinanderausführung von Abbildungen wird in den meisten Fällen eher multiplikativ geschrieben. D.h. für eine Permutation σ wird beispielsweise σ ∘ σ üblicherweise mit σ² abgekürzt, nicht mit 2σ. Und das Inverse zu σ wird mit σ⁻¹ bezeichnet, statt mit -σ. Aber im Grunde ist es für die Aufgabe relativ egal, ob man für die Verknüpfung eher additive oder multiplikative Notation verwendet. (Und was soll denn überhaupt eine "pipi"-tive Verknüpfung sein?)

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Ich nehmen an, das [123] jeweils mit [123], [213], [321], [132], [231] verknüpft werden soll, und das Vorzeichen ermittelt werden soll. Also jeweils ob es +1 oder -1 ist.

Nein, in der Aufgabenstellung steht doch nirgends etwas davon, dass du da Vorzeichen von Permutationen ermitteln sollst.

Mit Verknüpfungstabelle ist gemeint, dass du ermitteln sollst was irgendeine Element jeweils verknüpft mit irgendeinem anderen Element ergibt, und die Ergebnisse dann in Tabellenform dargestellt werden sollen.

Beispielsweise ist

$\left[132\right]\circ\left[312\right]=\left[213\right]$

weshalb an die entsprechende Stelle in der Tabelle [213] geschrieben wird.

Du musst also alle entsprechenden 6² = 36 Einträge ermitteln (bzw. noch 35 Einträge, da ich dir einen ja schon aufgeschrieben habe) und in die Tabelle eintragen.

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Was bedeutet dann "Die Inverse zu den Gruppenelementen angeben".

Die Menge

$S_3=\left\{\left[123\right],\ \left[213\right],\ \left[321\right],\ \left[132\right],\ \left[312\right],\ \left[231\right]\right\}$

bildet zusammen mit der Verknüpfung ∘ (Hintereinanderausführung der Permutationen) eine Gruppe.

Wie in jeder Gruppe gibt es ein neutrales Element. In diesem Fall ist [123] das neutrale Element. Denn es gilt:

$\sigma\ \circ\ \left[123\right]=\sigma\ \ \text{und}\ \ \left[123\right]\ \circ\ \sigma=\sigma\ \ \text{für alle}\ \sigma\in S_3$

Dies kann man recht gut an der entsprechenden Spalte und entsprechenden Zeile in der Tabelle erkennen, welche ich im Folgenden einmal rot markiert habe.

Bzw. ist es auch irgendwie klar, dass [123] das neutrale Element ist, da [123] die Identitätsabbildung ist, welche jedes Element wieder auf sich selbst abbildet, also 1 wieder auf 1 abbildet, 2 wieder auf 2 abbildet, 3 wieder auf 3 abbildet.

Nun gibt es, wie in jeder Gruppe, zu jedem Element σ ein Inverses σ⁻¹, so dass σ ∘ σ⁻¹ bzw. σ⁻¹ ∘ σ jeweils das neutrale Element ist. Du sollst also zu jedem Element σ ∈ S₃ das zugehörige Inverse σ⁻¹ ∈ S₃ finden, also jeweils dasjenige Element σ⁻¹ ∈ S₃ finden, für welches gilt:

$\sigma\ \circ\ \sigma^{-1}=\left[123\right]\ \ \text{und}\ \ \sigma^{-1}\ \circ\ \sigma=\left[123\right]$

Beispielsweise ist [231] das Inverse zu [312], also kurz geschrieben:

$\left[312\right]^{-1}=\left[231\right]$

Die entsprechenden Stellen habe ich dir im Folgenden wieder rot markiert.

So wie es zu [312] das Inverse [231] gibt, gibt es auch zu den anderen Gruppenelementen jeweils ein Inverses. Diese Inversen sollst du angeben.

Comments

[Jensek81]

Ersteinmal danke für die sehr ausführliche Darstellung. Jetzt kann ich mir etwas darunter vorstellen. Mit dem Skript konnte ich nichts anfangen.

[132] verknüpft mit [312] = [213]?

sicher?
Angenommen [132] ist g und [312] ist h

dann wäre für g = [132]

g(1) = 1

g(2) = 3

g (3) = 2

und für h = [312]

h(1) = 2

h(2) = 3

h(3) = 1

Die Verknüpfung g°h wäre doch

132°312 = g°h

und somit

g(h(1)) = g(2) = 3

g(h(2)) = g(3) = 2

g(h(3)) = g(1) = 1

also 132°312 = 321

oder wo hab ich gerade den Denkfehler?!

[mihisu]

@Jensek81

Wenn du dir sicher bist, dass mit [abc] die Abbildung f mit ...

f(a) = 1
f(b) = 2
f(c) = 3

... gemeint ist: Dann hast du keinen Denkfehler. Dann passt die ein oder andere Rechnung von mir nicht dazu.

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Allerdings ist es viel üblicher, dass mit [abc] eher die Abbildung f mit ...

f(1) = a
f(2) = b
f(3) = c

... gemeint ist: Dann würde bei dir die Abbildung [312] nicht mehr passen, welche du an dieser Stelle mit h bezeichnet hast. Denn [312] wäre dann die Abbildung h mit ...

h(1) = 3
h(2) = 1
h(3) = 2

Damit wäre dann ...

(g ∘ h)(1) = g(h(1)) = g(3) = 2
(g ∘ h)(2) = g(h(2)) = g(1) = 1
(g ∘ h)(3) = g(h(3)) = g(2) = 3

... und dementsprechend [132] ∘ [312] = [213].

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Da solltest du am besten nochmal nachschauen, wie das bei euch definiert wurde: So wie du die Notation benutzt hast, oder so wie sie üblicherweise definiert wird und ich sie kenne.