Welche Eigenschaften haben selbstinverse Matrizen?
Hallo!
Nach einigem Grübeln kam ich auf die Idee, dass selbstinverse Matrizen immer Dreiecks- oder Diagonalmatrizen sind; mit Einträgen +1 oder -1. Kann mir jemand sagen, ob das stimmt?
(Insbesondere muss ich beweisen / widerlegen, dass die Determinante einer solchen Matrix immer +1 oder -1 ist. )
Vielen Dank :D"
3 Antworten
In dem Buch Mathematische Grudlagen der Ingeneurinformatik von Peter J. Pahl und Rudolf Damrath findet man etwa Folgendes:
Eine selbstinverse Matrix A kann man schreiben als A = E - xy^T ( y^T ist der zu y transponierte Vektor). Die Vektoren x und y dürfen nicht orthogonal sein und es muß x^Ty=y^Tx = 1 gelten. Ist x=y, so ist die Matrix A sogar symmetrisch.
Das sind sicherlich mehr Matrizen als die, welche du im Auge hast. Bilde mal AA mit A in der obigen Form.
Ihre Determinante ist +-1.
Okay, danke, aber woran liegt das? Haben sie immer die Form, wie ich sie beschrieben habe? LG
Das geht viel einfacher:
Du hast ja ganz allgemein
det (AB) = det A * det B .
Damit hast du für A = A^(-1)
1 = det E = det (A A^(-1)) = det A * det A^(-1) = det A * det A = (det A)^2.
Also (det A)^2 = 1.
Und dafür gibt es genau die beiden Lösungen det A = 1 und det A = -1
Und nein, eine zu sich selbst inverse Matrix kann auch ganz andere Einträge haben. Nimm z. B.
1/2 3
1/4 -1/2
Die ist wunderbar selbst invers.