Kann mir jemand sagen, mit welchen Rechenschritten ich zur Inversen dieser Matrix komme?
ich konnte nirgendwo die Rechenschritte sehen immer nur die direkte Lösung wo d und a vertauscht sind, und b sowie c mit einem Minuszeichen versehen.
Viele Grüße
3 Antworten
Allgemein gilt die Formel A^(-1)=1/Det(A) * Adj(A), wobei Adj(A) die zu Adjunkte von A ist. Das ist die transponierte Kofaktormatrix zu A.
Die Adjunkte einer 2x2-Matrix hat eben diese Gestalt mit den unterschiedlichen Vorzeichen etc.
Rechne doch einfach die Kofaktormatrix für eine 2x2-Matrix von Hand aus und transponiere sie dann.
Dazu streichst du pro Eintrag jeweils die Zeile und die Spalte, in der der Eintrag in der Originalmatrix steht und berechnest die Determinante der übrig gebliebenen Matrix. Das ist dann dein Eintrag, den du mit einem Minuszeichen versiehst, wenn Zeilennummer+Spaltennummer eine ungerade Zahl liefert.
Für den Eintrag der Kofaktormatrix oben links ergibt sich (-1)²*d, oben rechts (-1)³*c, unten links (-1)³*b, unten rechts (-1)^4*a. Transponiert also genau die Matrix aus der Rechnung.
Es gilt:
A*A^-1 = E
Mit A^-1 = [x1 | ... | xn] mit Spaltenvektoren xi. Entsprechend folgt:
A*A^-1 = [A*x1 | ... | A*xn ] = [e1 | ... | en]
mit kartesischen Einheitsvektor ei, welche nur Nulleinträge besitzt, bis auf eine 1 in der i-ten Zeile. Es gilt also zu lösen:
A*xi = ei --> xi ---> A^-1
Das wäre bspw. eine Art und Weise wie man auf die Inverse kommen kann.
dann schlag dein Buch/Skript auf...
https://www.mathebibel.de/inverse-matrix-berechnen-nach-gauss-jordan
ja das weiß ich auch wie das geht mit Zahlen. Aber Buchstaben ist es nirgendwo beschrieben.
es funktioniert genauso, ist nur wegen der vier Variablen etwas mühselig...
Das ist mir auch klar. Aber mit welchen Rechenschritten kommt man zu dem Ergebnis.