Peripheriewinkelsatz - Beweis?
Kann mir wer rein rechnerisch, auch mit einer Skizze, einen Beweis des Peripheriewinkelsatzes als Antwort senden?
findet man sofort mit jeder Suchmaschine. Dutzende von Beweisen.
Ich würde aber gerne einen haben, der von einer Person, die Mathematik versteht, als richtig verifiziert würde.
2 Antworten
Hallo diecooleperson1,
der Königsweg ist der über den Kreiswinkelsatz.
Der KreiswinkelsatzWir haben einen festen Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r, der Umkreis eines Dreiecks [ABC] ist. Dabei sollen A und B und damit auch die beide verbindende Seite c fest sein, und damit ist auch das Dreieck [ABM].
Dann ist der Mittelpunktswinkel μc ¹) – oder einfach μ – bei M immer doppelt so groß wie der Peripheriewinkel γ bei C.
Kreiswinkelsatz ⇒PeripheriewinkelsatzDie Seite c und ihr Verhältnis zum Radius r des Kreises hängt über den Sinus/ Arcussinus mit μc bzw. μ zusammen:
(1.1) 2∙sin(½∙μ) = c⁄r
(1.2) μ = 2∙arcsin(½∙c⁄r)
Da das Dreieck [ABM] fest ist und damit auch μ, ist auch γ fest, egal wo auf dem Kreis C liegt.
Abb. 1: Ein Winkel (hier: α), sein Sinus, Cosinus und Tangens
Beweis des KreiswinkelsatzesDer Trick beim Beweis des Kreiswinkelsatzes liegt darin, ein beliebiges Dreieck, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen, durch einen Strahl von C aus durch M in zwei Teile zu teilen. Dadurch entstehen zwei Spezialfälle, die sich jeder für sich leicht beweisen lassen.
Abb. 2: Das zweigeteilte Dreieck
Die Dreiecke [BCM] und [CAM] sind beides gleichschenklige Dreiecke, und damit sind auch ihre Basiswinkel gleich. Für ihre Scheitelpunktswinkel σ₁ und σ₂ oder kurz σᵢ mit i ∈ {1, 2} gilt:
(2) σᵢ = π − μᵢ = π − 2∙γᵢ
Also muss
(3.1) μᵢ = 2∙γᵢ
sein, und da dies für beide Seiten gleichermaßen gilt, gilt auch
(3.2) μ = μ₁ + μ₂ = 2∙γ₁ + 2∙γ₂ = 2∙γ.
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¹) Die Benennung von Winkeln ist alles andere als einheitlich, deshalb musst Du in der Beziehung höllisch aufpassen. Meine Bezeichnung μ steht für "Mittelpunktswinkel", und der Index "c" bedeutet, dass dieser Winkel – wie γ – der Seite c gegenüber liegt.
Wenn du Lust hast, ändere die Antwort doch ab und entdekce einen neueren Beweis.
Ich überlege gerade, ob man den Cosinussatz benutzen kann...
Rein aus Interesse, ist die Abbildung selbst entworfen?
Könntest du es erweitern, wenn du Zeit ... hast?
Welcher Klassenstufe würdest du den Ansatz, den du in der Antwort geschrieben hast, zuordnen?
Rein aus Interesse, könntest du eine auf deinen Ansatz aufbauende Denkaufgabe stellen? Also eine schulische.., mit Lösung.
Für mich schwer zu haben: Ich bin nicht Lehrer, und meine eigene Schulzeit liegt lange zurück, sodass ich nur noch ungefähr sagen kann, wann wir so etwas durchgenommen haben.
Das was du so grafisch dargestellt hast, ist sicher eine Datei. Kannst du mir die zum Download senden, die Datei.
Falls das geht, kenne mich mit Inkscape nicht aus..!
Das Bild kannst Du von hier aus downloaden: Draufklicken, länger auf das Bild drücken (Handy) oder rechts klicken (PC) und "Bild herunterladen" wählen.
Kannst du den Arcussinus und den Sinus nur kurz erläutern?
Also so zwei Sätze! :)
Es ist einfacher, das in einem Bild darzustellen. Oben siehst Du das. Das Dreieck könnte man nach unten zu einem gleichschenkligen ergänzen, mit dem Winkel 2α am Mittelpunkt.
Der Arcussinus ist das Gegenteil des Sinus. Im Bild ist
y/r = sin(α)
α = arcsin(y/r)
Kannst du mir Mal eine Internetartikel senden, indem Sinus, Tangens, Cosinus erklärt werden?
Ich hatte gehofft, dass er gebe sich so klar aus dem Schaubild, dass ich mitgepostet habe, dass sich das erübrige. Dort ist ja α eine der beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck.
Er ist also der Winkel zwischen der Hypotenuse und einer der beiden Katheten des Dreiecks, der sogenannten Ankathete. Die α gegenüberliegende Kathete heißt Gegenkathete, und ihr Verhältnis zur Hypotenuse ist der Sinus von α.
Etwas Merkwürdiges steht da allerdings:
Liegen die Eckpunkte eines Dreiecks auf einem Kreis,...
Wie ist es möglich, dass die Eckpunkte eines Dreiecks nicht auf einem Kreis liegen?
Ich meine natürlich ein reguläres Dreieck (also eines, bei dem nicht ein Punkt auf der Verbindungsstrecke der beiden anderen liegt).
Vielen Dank für den Stern!