Periodische ( unendliche ) Dezimalzahl als Bruch schreiben?
Was wäre 0,1(periode)6 ?
Bitte so unkompliziert wie möglich erklären :)
Danke im Voraus :-)
6 Antworten
Hallo,
Du multiplizierst den Bruch mit einer Zehnerpotenz, also 10; 100; 1000 usw., die so groß ist, daß alle Ziffern, die vor der Periode stehen, plus der ersten Ziffer der Periode vor dem Komma landen. So wird aus 0,1666..., wenn Du es mal hundert nimmst, 16,666...
Wenn Du davon nun 10*1,666. abziehst, bekommst Du 15 heraus.
15 ist also das Ergebnis von 100*0,16666.-10*0,1666...), ist also gleich 90*0,16666...
Nun kannst Du nach dem periodischen Bruch auflösen. Aus:
90*0,1666..=15 folgt:
0,1666...=15/90=1/6
So kannst Du jeden periodischen Bruch verwandeln:
Bruch mit 10^n multiplizieren, so daß die erste Ziffer der Periode vor dem Komma landet, davon den Bruch mal 10^(n-1) abziehen.
Die Zahl, die dann herauskommt, ist der Zähler des echten Bruches, während
10^n-10^(n-1) den Nenner darstellt.
Danach nur noch so weit wie möglich kürzen.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich habe gerade festgestellt, daß meine beschriebene Methode nur bei periodischen Brüchen funktioniert, deren Periode nur aus einer Ziffer besteht.
Wenn die Zahl allerdings so lautet wie 1,234562345623456...,
muß man das Ganze etwas abwandeln.
Diesmal multiplizierst Du mit einer Zehnerpotenz, die so groß ist, daß die gesamte Periode, hier also 23456, vor dem Komma landet:
1,23456...*100.000=123456,23456...
Danach ziehst Du einmal 1,23456... ab und kommst auf
123455.
123455=100.000*1,23456...-1*1,23456...=99.999*1,23456...
1,23456=123.455/99.999
Das Verfahren bleibt im Prinzip das Gleiche, man muß nur jeweils die passenden Zehnerpotenzen suchen.
Bei Perioden, die gleich hinter dem Komma anfangen, schreibst du einfach Neuntel für die Anzahl Ziffern unter dem Periodenstrich in den Nenner:
0,p1 = 1/9 p deutet an, wo der Periodenstrich beginnt
0,p2 = 2/9
0,p3 = 3/9 = 1/3
0,p12 = 12/99 = 4/33
0,0p1 = 1/90 9 nur unter Periodenziffern, vorher 0
0,00p1 = 1/900
Bei einer Ziffernmixtur muss man rechnen:
0,1p6 = 1/10 + 6/90 weil 6 ja erst in der 2. Position steht
0,1 davor = 1/10
Dass dies auch 1/6 ist, hilft einem nur, wenn man es vorher schon gewusst hat. Mit dem obigen Verfahren bekommst du aber alle Perioden geknackt.
Bei einer Ziffernmixtur muss man rechnen:
Dass dies auch 1/6 ist, hilft einem nur, wenn man es vorher schon gewusst hat.
0,1p6 = 1/10 + 6/90 weil 6 ja erst in der 2. Position steht
0,1 davor = 1/10
Oder man rechnet ehrgeizig weiter:
1/10 + 6/90 = 9/90 + 6/90 = 15/90 = (gekürzt) 1/6
Du möchtest: 0,1666666666666666666666... als Bruch schreiben.
Du überlegst dir, welche dir bekannten Brüche da am Nächsten sein könnten:
Du kennst zum Beispiel:
1/2 = 0,5 => zu groß.
1/10 = 0,1 => zu klein.
1/5 = 0,2 => zu groß.
1/8 = 0,125 => etwas zu klein
1/6 = hmm, was war das nochmal?
Es gilt ja:
1/6 = (1/2)*(1/3) = (1/2)*0,333333333... ) = 0,166666666...
Also ist der gesuchte Bruch 1/6.
Du hast also durch nachdenken, welche Brüche du schon kennst herausgefunden, welches der gesuchte Bruch war.
Sei x = 0,1p6
=> 10x = 1,p6
=> 10x-1 = 0,p6
=> 10x -1 = 6/9=2/3
=> 10x = 1 + 2/3 = 5/3
=> x = 1/10 * 5/3 = 1/6
0,16666666... = 0,1 + 0,0666 = 1/10 + 2/30 = 5/30 = 1/6
Super Antwort, im Fall von 0,166... kann man sich aber vielleicht merken, dass der zugehörige Bruch 1/6 ist - Das ist nämlich genau die Wahrscheinlichkeit bei einem Würfel eine 6 zu würfel.
Viele Grüße