Sind nicht-periodische Dezimalzahlen eigentlich doch periodisch?
Hallo,
jeder von euch kennt doch die Dezimalzahl zu 1/3 - richtig: Sie ist periodisch, also 0,33333 etc.
Aber was ist nun mit 1/2? Es ist 0,5 - das kann mir garantiert jeder sagen. Aber Streng betrachtet ist es doch 0,50000000 etc., also 0,5 mit einer Periode von Nullen. Da die Null ja in der Mathematik als eine eigenständige Zahl definiert ist, stellt sich mir die Frage, ob denn solche vermeintlich nicht-periodischen Dezimalbrüche doch periodisch sind.
Ich meine, wenn man das Komma nach rechts verschiebt, dann hat man ja irgendwann 50, 500, 50000 etc. - So auch bei den ganzen Zahlen...die haben ja hinter ihrem dazugedachten Komme unendlich viele, dazugedachte Nullen...
Vielleicht kann mich ja jemand aufklären ;)
LG ShD
8 Antworten
"Auch endliche Dezimalbrüche zählen zu den periodischen Dezimalbrüchen; nach Einfügung unendlich vieler Nullen ist zum Beispiel 0,12 = 0,12000... "
[Quelle: de.wikipedia.org: Dezimalsystem]
Im Alltag meint man mit "periodisch" häufig "ausgenommen Periode 0 oder 9". Aber das ist völlig unbegründet und unnötig, weil eigentlich alles, was für periodische Zahlen gilt, auch für abbrechende Dezimalbrüche passt.
Falls Du je eine Unterscheidung benötigst, dann sage "Eine periodische, im Dezimalsystem nicht abbrechende Zahl", oder gleich: "Eine rationale Zahl, die nicht darstellbar ist als a / (2^p·5^q) mit a∈ℤ und p,q∈ℕ₀". Aber solche Zahlen sind langweilig!
Das Dezimalsystem ist nur eins von (unendlich) vielen möglichen Zahlensystemen, und jede Bruchzahl ist in einigen Zahlensystemen periodisch und in anderen abbrechend. (Bei der Basis b - anstelle von 10 oder auch b=10 - spricht man auch von b-adischer Darstellung. Hat aber nichts mit einem Teil Baden-Württembergs zu tun.)
Die entscheidende mathematische Unterscheidung ist auch nicht die zwischen periodisch und abbrechend, sondern die zwischen periodisch und aperiodisch: periodische Dezimalzahlen - oder allgemein Zahlen, deren b-adische Darstellung periodisch ist - (einschließlich Periode 0) sind nämlich rational, alle anderen Zahlen sind irrational.
(Übrigens schließt man oft die Periode 0 ausdrücklich aus - 0,5 ist dann 0,49999999.... Wenn man dies in der binären Darstellung macht, erhält man eine einfache bijektive Zuordnung der Zahlen im linksseitig offenen Intervall (0,1] auf die unendlichen Teilmengen der Menge der natürlichen Zahlen ab 1 - eine Zahl n gehört genau dann zu der Menge, die einer Zahl x zugeordnet wird, wenn an der n. Stelle der Binärdarstellung von x eine 1 steht.)
Deine Logik ist richtig. Hier gehts aber vor allem um eine Begriffsdefinition. Den Begriff "periodisch" so zu definieren, dass die Zahl 0,500000000000000... eingeschlossen ist, macht Probleme in der Kommuikation. Es ist schon praktisch, beide Dezimalzahlen irgendwie auch sprachlich unterscheiden zu können.
Es wäre mal interessant, sich daraufhin Definitionen anzusehen, ob da an eine saubere Trennung gedacht wurde, etwa die reine Null ausgeschlossen wurde. Aber ich denke, Mathematiker sind ja nicht doof, das haben sie.
Die Nullen dahinter sind nicht von Belang. Es gibt auch unendlich viele Möglichkeiten, rationale Zahlen wie 0,5 als Bruch darzustellen (1/2, 10/20, 21/42, a/(2a)...). Trotzdem kann man nicht behaupten, dass diese Brüche zueinander verschieden sind.
Hallo, Soso,
ein periodischer Bruch ist als ein gekürzter Bruch p/q definiert, in dem q als Faktoren Primzahlen enthält, die von 2 und 5 verschieden sind.
Dies trifft auf Zahlen wie 2,1000 usw. oder 3,0000... nicht zu, weil sie gekürzte Brüche darstellen, deren Nenner entweder eine 1 ist (keine Primzahl) oder als Primfaktoren nur Zweien und Fünfen enthält.
Liebe Grüße,
Willy
Wo steht diese Definition?