Partialbruchzerlegung Division?
Hallo zusammen,
Ich muss die Stammfunktion bilden und habe aktuell das Problem, dass ich nicht weiß, welchen Ansatz ich am besten wählen soll. Wenn ich den Zähler aus multipliziere, hätte ich einen Nenner 4. Grades. Deshalb stellt sich die Frage, ob überhaupt eine Division erforderlich ist und, falls ja, welchen Ansatz man wählt. Ich habe gesehen, dass manche Leute den Zähler durch den Nenner teilen, während andere eine Nullstelle suchen und mit diesem Ansatz eine Polynomdivision durchführen. Wann macht man was und warum? Viele Fragen, vielen Dank im Voraus!
2 Antworten
warum kürzt du nicht erst mal mit x? Danach eben den Ansatz der Partialbruchzerlegung wählen, die Nullstellen im Nenner sind ja schon offensichtlich.
Partialbruchzerlegung · Schritt für Schritt + Beispiel · [mit Video] (studyflix.de)
Den Schritt mit der Division des Zählers durch den Nenner kannst du dir sparen, der wird gemacht um einen "echten" Bruch zu erreichen, d.h. zu erreichen dass das Zählerpolynom einen niedrigeren Grad hat als das Nennerpolynom.
Was ja nichts anderes als eine (implizite) Partialbruchzerlegung ist :-). Aber natürlich ist das deutlich einfacher als es formelhaft durchzuziehen.
Die Partialbruchzerlegung ergibt:
und wenn man das integriert erhält man:
Dann habe ich vieleicht irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht....
Partialbruchzerlegung ist nicht einmal nötig.
Nach Kürzen durch x erhält man (-5x²+x+5)/[x*(x+5)], was sich zu -5x²/[x*(x+5)]+(x+5)/[x*(x+5)] aufteilen läßt. Das ergibt -5x/(x+5)+1/x und dies wiederum nach Division des ersten Terms -5+25/(x+5)+1/x, was zur Stammfunktion
F(x)=-5x+25*ln|x+5|+ln|x|+C führt.