Partialanalyse?
Hallo!
Eine kurze und knappe Frage:
Gegeben ist folgende Funktion:
e^-x^2-y^2
Es handelt sich also um eine Partialanalyse.
Gibt es Extremstellen? Ich und eine Kommilitonin habe keine Extremstellen als Lösung und wollte nun überprüfen, ob dies stimmt.
Danke im Voraus!
3 Antworten
Hallo x56plstr,
leider kann ich nicht erkennen, ob Du
(1.1) e^{–x² – y²} = e^{–(x² + y²)},
(1.2) e^{–(x² – y²)} = e^{–x² + y²}
oder auch
(1.3) e^{–x²} – y²
meinst. Wie Du siehst, ist das richtige Setzen von Klammern enorm wichtig.
Ich vermute mal, dass (1.1) gemeint ist, und dann ist das ganze eine zweidimensionale Gauß-Kurve und die Frage leicht zu beantworten. Ich nehme an, dass x und y beide Reelle Zahlen sein sollen.
Ihre Quadrate sind also ≥ 0, deren Summe r² natürlich auch, also ist –r²≤0, und e^{irgendwas ≤ 0} ist immer ≤1. Daher ist (x=0|y=0) die Extremstelle.
Übrigens gibt es hier einen LaTeX-Editor, mit dem Du
(1.1)\quad \mathrm{e}^{-x^2-y^2}=\mathrm{e}^{-(x^2+y^2)}=:\mathrm{e}^{-r^2}
schreiben und das in den Editor reinkopieren kannst:
Sei f(x,y) = exp(-x^2 - y^2) , entsprechend folgt der Gradient zu
grad(f)(x,y) = (-2)*f(x,y)*{x , y}^T
Der Gradient verschwindet entsprechend an der Stelle x = y = 0, eine kritische Stelle. Die Hessematrix folgt zu
https://www.wolframalpha.com/input/?i=hessian(+exp(-x%5E2+-+y%5E2)+)
und damit enstprechend an der kritischen Stelle
Hess(f)(0,0) = {{-2, 0}, {0, -2}}
welche symmetrisch negativ definit ist. Somit liegt ein Maximum an besagter kritischen Stelle vor.
Anschaulich hierzu auch nochmal den Graphen:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot(+exp(-x%5E2+-+y%5E2)+)
Moin,
keine Antwort im eigentlichen Sinne, aber Wolframalpha hilft euch bei sowas enorm weiter, hat mir auch im Mathematikstudium diverse Male die Note gerettet -> https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E(-x%5E2-y%5E2)
Anhand des Graphen seht ihr eure Antwort und könnt von da weiter schlussfolgern, warum das sein könnte.