Wurde vor 6 Tagen schon gefragt. https://www.gutefrage.net/frage/frage-zu-uneigentliche-integralen

Für die erste Aufgaben finden wir eine konvergierende Majorante. Es gilt für alle xund daher auch mit der Dreiecksungleichung

Das Integral existiert also nach dem Majorantenkriterium.

Für das zweite gilt z.B. für alle x grösser als 3 die Ungleichungen  insbesondere gilt dann  Für das zweite Integral erhalten wir also Das erste Integral auf der rechten Seite ist beschränkt aber das zweite ist natürlich unbeschränkt. Deswegen kann das Integral nicht existieren.

Kein Lagrange nötig.

Die Kosten sind 14K+0.4L.

Die Produktion ist K+L^{0.2} = 180. Daraus folgt, dass K = 180-L^{0.2}. Wenn wir dieses K in die Kosten einsetzen, steht da

Kosten = 14*(180-L^{0.2})+0.4L. = 2520+0.4L-L^{0.2}

Das ist eine reelle Funktion in einer Variablen. Das Minimum davon finden wir, indem wir die Ableitung gleich null setzen. Also

0.4-0.2*L^{-0.8} = 0

Das bedeutet

L = 2^{-1/0.8}.

Jetzt brauchen wir nur noch K auszurechnen.

Für diese Art Problem die Lagrange Multiplikatoren zu benutzen ist mathematisch ein Overkill.

Zuerst sollten wir uns anschauen, welche Werte die Folge b annimmt. Eine Zahl in (0,1) ist dann ein Häufungspunkt der Folge, wenn es ein Folgenglied gibt, welches beliebig nahe an der Zahl liegt.

Setze zuerst n=2^k. Dann ist log_2(n)=k und Wähle nun ein x so dass n+x=2^k+x<2^(k+1). Dann gilt Lass uns ein Beispiel betrachten. Wählen wir k=2. Dann erhalten wir die folgenden Werte für b: Tatsächlich, wenn wir alle Glieder davor auch betrachten, so finden wir für b die Glieder Man erkennt, dass die Glieder b_1 bis b_(2^k) gerade alle rationalen Zahlen der Form i/2^(k+1) mit 0<i<2^(k+1) genau einmal abdecken, wenn auch nicht in dieser Reihenfolge.

Die entscheidende Frage ist, ob man jede reelle Zahl in (0,1) beliebig annähern kann durch einen Bruch der Form i/2^k. Die Antwort darauf ist: Ja! Das folgt direkt aus dem Dirichletschen Approximationssatz. Eine etwas schwächere, aber ausreichende Aussage habe ich hier https://www.gutefrage.net/frage/fuer-jede-reelle-zahl-a--gibt-es-eine-folge-rationaler-zahlen-die-gegen-a-konvergiert#answer-327907007 bewiesen.

Intuitiv kannst du dir vorstellen, dass der zweite Term für grosse n vernachlässigbar wird. Denn der ist ca. (-0.618...)^n, was etwa gleich 0 ist.

Als erstes schreibe ich die Formel um in Jetzt ist es wichtig, dass diese speziellen Zahlen die folgende Eigenschaft erfüllen: Also erhalten wir

Wenn wir wissen, dass der Grenzwert L existiert, dann finden wir ihn ganz einfach indem wir die Fixpunktgleichung lösen:Die Gleichung besitzt genau eine positive Lösung!

Sei Z die reelle Zahl und o.B.d.A. Z positiv. Sei q eine natürliche Zahl. Betrachte nun R(x)=q*Z-x wobei wir für x nur natürliche Zahlen einsetzen. Dann ist R(0)>0 und es existiert ein natürliches L so dass R(L)<0 und auch für alle Argumente grösser als L. Ausserdem gilt R(x)-R(x+1)=1, also macht R immer Schritte der Länge 1. Deswegen hat R(p) für ein p höchstens den Abstand 1 vom Punkt 0. In Zeichen ausgedrückt: |q*Z-p|<=1. Daraus folgt mit Division durch q:Es gibt also für jedes Z und q ein ganzes p, sodass p/q höchstens den Abstand 1/q von Z hat. Deshalb können wir jede reelle Zahl beliebig durch einen Bruch annähern. Diese Abschätzung können wir natürlich noch verbessern, aber das ist hier gar nicht nötig.

Für Z kannst du dann eine beliebige streng wachsende Folge natürlicher Zahlen q_n wählen als Zähler und einen jeweils dazugehörigen Zähler p_n der die Annäherung von oben erfüllt. Nun ist a_n=p_n/q_n eine rationale Folge, die gegen Z konvergiert.

Wenn wir akzeptieren, dass jede reelle Zahl Z eine Darstellung als Dezimalbruch hat, d.h.



wobei Z_0 eine ganze Zahl und d_n ganze Zahlen in [0,9] sind, dann ist

eine Folge rationaler Zahlen, die monoton gegen Z konvergiert.

Weil {a_k} beschränkt ist, existiert ein Supremum C der Folge. Dann gilt  für alle n. Also ist auch b durch A beschränkt. Das selbe Argument geht auch für das Infimum.

Nein, b ist nicht die harmonische Reihe.

Zuerst würde ich es wie ReimundAcker lösen aber es geht auch anders, kommt darauf an, wie gerne du Potenzreihen hast.

Also zu meiner Lösung.

Definiere die Funktionen

Die sind überall auf den reellen Zahlen absolut konvergent. Daher lautet ihre Ableitung  Weil wir wissen, dass  folgert man leicht, dass  Du suchst aber einfach 

Kann alles sein. Sieh dir die drei Beispiele

f(x)=x^5

f(x)=x^4

f(x)=-x^4

an der Stelle x=0 an. Da hast du einen Sattelpunkt, ein Minimum und ein Maximum, und alle drei erfüllen f''(0)=f'''(0)=0.

Sagen wir, der Verurteilte legt a weisse Kugeln und b schwarze Kugeln in die erste Kiste. Dann gewinnt er mit einer Wahrscheinlichkeit von Zusätzlich verlangen wir, dass a und b beide zwischen 0 und 10 liegen müssen und erstmal reelle Zahlen sein dürfen. Mit Methoden aus der Analysis kann man zeigen, dass bei (x,y) = (5,5) ein lokales Minimum vorliegt. Das interessiert uns aber nicht. Da im Inneren der Region kein weiteres Extremum existiert, muss das Extremum auf dem Rand liegen.

Es gibt nun zwei Fälle:



da mindestens eine Kugel in jeder Kiste liegen muss. (Ansonsten hätte er nur die schwache 50-50 Chance und es ist klar, dass das nicht die beste Strategie ist.)

Die möglichen Fälle sind, dank Symmetrie (a=1 ist die selbe Situation wie a=9 einfach die Kisten vertauscht), nur noch (0,b), (a,1), (1,b), (a,0) mit den Einschränkungen von oben. Damit müssen wir die Maxima finden von:

   

Hierbei muss man nur in einer Variablen maximieren. Man sieht leicht, dass (a,b) = (1,0) die höchste Wahrscheinlichkeit, nämlich 14/19=0.736842, ergibt.

Ich hoffe diese Erklärung ist verständlich genug, bei Unklarheiten gerne nachfragen.

Ich werde einfach e für epsilon schreiben.

Dann gilt: (e*x)^2-2xy+(y/e)^2 = (e*x)^2-2*(e*x)*(y/e)+(y/e)^2 = (e*x-y/e)^2 > 0

Da eine Zahl zum Quadrat immer positiv ist.

Also ist (e*x)^2+(y/e)^2 > 2xy.

Die Reihe "The Feynman Lectures" ist sehr beliebt, und der Autor Richard Feynman verstand es wie kein zweiter, komplizierte Sachverhalte intuitiv zu erklären.

Gerade in der heutigen Zeit, da die Wissenschaft gerne verteufelt wird eine gute Frage. (Klimaskeptiker, Impfgegner etc.) Um auf verständliche Weise erklären zu können, wieso Wissenschaftliche Arbeiten und Journale für uns die vertrauenswürdigsten Informationsquellen sind, möchte ich zuerst erklären, was die Wissenschaft auszeichnet.

Die Titel Wissenschaftler wird nicht verliehen. Jedes Kind kann ein Wissenschaftler sein. Die Bezeichnung kommt von der wissenschaftlichen Arbeitsweise. Dass die meisten Studien von Universitäten und Akademien kommen, liegt daran, dass dort die nötigen Ressourcen vorhanden sind wie Ausrüstung, Finanzierung, Personal.

Die Wissenschaft erfüllt zwei grundlegende Besonderheiten:

   1. Reproduzierbarkeit

Das bedeutet, jedes wissenschaftliche Paper sollte so geschrieben sein, dass jeder, vorausgesetzt man hat die Möglichkeiten, das Experiment selbst wiederholen und für sich überprüfen kann. Das wird in den jeweiligen Fachkreisen auch gemacht und wenn etwas nicht korrekt reproduziert werden kann, wird es auch nicht in den allgemeinen Konsens aufgenommen. Ausserdem wird üblicherweise eine statistische Signifikanz aufgeführt, die angibt, wie wahrscheinlich ein Irrtum ist in der Messung und Auswertung der Daten ist.

   2. Falsifizierung

Fortschritt in der Wissenschaft entsteht nicht, indem man etwas über Jahre hinweg beobachtet und dann behauptet, dass es immer so sein muss. Im Gegenteil, man stellt eine Hypothese auf und versucht diese, mit einem möglichst einfachen Experiment zu widerlegen. Sherlock Holmes meint dazu: „Wenn Du das Unmögliche ausgeschlossen hast, dann ist das, was übrig bleibt, die Wahrheit, wie unwahrscheinlich sie auch ist.“ Das unterscheidet die Wissenschaft von der Pseudowissenschaft. Dazu gehört z.B. Esotherik und Religion. Die Behauptung „es gibt einen Schöpfer, der uns die Evolution der Erde nur vortäuscht“ ist wissenschaftlich absolut irrelevant, da sie auf keine Weise der Welt überprüfbar wäre, es liegt sogar in der Natur der Behauptung, dass sie nicht überprüfbar ist. Deswegen beachtet die Wissenschaft solche Behauptungen nicht, es ginge entgegen deren Arbeitsweise.

Aus diesem Grund ist wissenschaftliche Literatur sehr transparent. In der Tat ist sie wesentlich transparenter als Aussagen aus dem Volksmund oder von Politikern und anderen „Autoritäten“. Nun zu den Fragen.

Q1: Es gibt nicht wirklich Regeln aber wenn eine Studie veröffentlicht wird, welche nicht den Standards entspricht, wird sie 1. nicht ernstgenommen und 2. die Autoren verlieren ihren Status. Dadurch dass die wissenschaftliche Gemeinde sich selbst kontrolliert und rein hält, kann man davon ausgehen, dass die meisten akzeptierten Studien den „Regeln“ genügen.

Q2: Soweit ich weiss darf jeder veröffentlichen, was er will. Es kommt dann eher darauf an, wie die Resultate verwendet werden. Ich denke ein Arzt wird bestraft, wenn er sich bei der Behandlung eines Patienten auf unseriöse Arbeit stützt, der Verfasser der Arbeit wird wahrscheinlich kaum dafür belangt werden können.

Q3: Wenn, dann müsste es wohl umgekehrt sein. Bei Themen wie Abgasskandal usw. würde ich mir immer die Frage stellen, wer ein Motiv hat. Welchen praktischen Nutzen trägt die Wissenschaftsgemeinde wenn sie lügt vs. welchen Nutzen hat die jeweilige Industrie oder Person. Beim Klima muss man nicht lange überlegen. Ich bin kein Experte aber was ist wohl wahrscheinlicher: eine weltweite Vereinigung von Klimaexperten, welche sich ihr Leben lang mit dem Thema beschäftigen und tausende von Daten sammeln, die keinen persönlichen Nutzen davonzieht wenn sie lügt, oder der Präsident eines der fleissigsten Ölförderer, der mit einem globalen Umstieg auf erneuerbare Energien riesigen Verlusten entgegenstünde? Es ist immer hilfreich zu wissen, wer die Studie durchführt und von wem sie finanziert und gestartet wird.

Q4: Wie bereits erwähnt, ist das unwahrscheinlich. Würde eine unseriöse Arbeit publiziert, so würde sie überprüft werden. Nun es kommt vor, dass die Leute einem „Wissenschaftler“ blind vertrauen, obwohl die Akademie streng davon abrät, besonders die Medizin ist davon betroffen. Siehe dazu Quacksalber: https://en.wikipedia.org/wiki/Quackery

Q5: Meiner Meinung nach ist es wichtig, Religion und Wissenschaft zu trennen. Wie oben erklärt, funktionieren sie ganz unterschiedlich. Es handelt sich um zwei Wegen nach Erkenntnis und beide haben ihre Berechtigung. Und es ist Zeitverschwendung, religiöse Ansichten gegen wissenschaftliche und experimentell erlangte Ansichten zu stellen. Persönlich finde ich es genau so falsch, die Religion eines Menschen zu untergraben, weil sie sich nicht experimentell messen lässt, wie ich es falsch finde, dass an gewissen Schulen die Schöpfung im Geschichtsunterricht gelehrt wird. Ein witziger Gedanke dazu ist Russels Teekanne: https://de.wikipedia.org/wiki/Russells_Teekanne

Q6: Im Gegenteil! Es wäre sehr problematisch, wenn die wissenschaftliche Publikation zensiert würde!

Soweit im Idealfall… In der Realität gibt es leider auch https://de.wikipedia.org/wiki/Publikationsbias. Siehe auch https://www.youtube.com/watch?v=42QuXLucH3Q

Der Zusammenhang zwischen Energie E und Frequenz f von Lichtwellen/Photonen lautet: E=hf, worin h die Planksche Konstante ist. Warum diese Gleichung so sein soll lässt sich leider nicht auf klassische Weise erklären, und überhaupt kennt man sie nich nicht so lange. Es ist auch interessant, dass die Energie gar nicht wie früher vermutet, von der Intensität des Lichts abhängt. Höhere Intensität heisst zwar höhere Photonendichte, aber die Energie des einzelnen Photons ändert sich nur mit der Frequenz, resp. die Wellenlänge.

Gäbe es eine Polynomfunktion 3. Grades mit mindestens 4 Nullstellen so hätte deren Ableitung nach dem Satz von Rolle mindestens 3 Nullstellen, die zweite Ableitung mindestens 2 Nullstellen und die dritte Ableitung mindestens eine Nullstelle. Das kann aber nicht sein, da die dritte Ableitung konstant und ungleich 0 ist.

Um zu zeigen, dass es mindestens eine Nullstelle gibt, musst du dank dem Zwischenwertsatz nur zeigen, dass es für jedes normierte Polynom p(x)=x^3+a2*x^2+a1*x+a0 Werte x1,x2 gibt, so dass p(x1)<0 und p(x2)>0 gibt. Zum Beispiel x1=-3M und x2=3M mit M=max(1,|a0|,|a1|,|a2|) funktioniert.

Wie meinst du? Das auf dem Foto wirst du eher früh in deinem ersten Algebrakurs (im Mathematikstudium natürlich) lernen, ist also relativ einfach.

Mit Apps wie z.B. physics toolbox oder phyphox kannst du das selbst messen.

Benutze die Ungleichungen und zeige zuerst, dass a monoton wächst und b monoton fällt. Zeige dann, dass gilt:Also ist dieser Schnitt nicht leer. Da N beliebig war, ist der Beweis fertig.

Deinen Ansatz müsstest du weiter ausführen meiner Meinung nach. Du musst erklären, wieso es einen Punkt gibt, der in jedem Intervall enthalten ist.

2 Lösungen: