Sagen wir, der Verurteilte legt a weisse Kugeln und b schwarze Kugeln in die erste Kiste. Dann gewinnt er mit einer Wahrscheinlichkeit von P = 21(a+ba+20−a−b10−a)Zusätzlich verlangen wir, dass a und b beide zwischen 0 und 10 liegen müssen und erstmal reelle Zahlen sein dürfen. Mit Methoden aus der Analysis kann man zeigen, dass bei (x,y) = (5,5) ein lokales Minimum vorliegt. Das interessiert uns aber nicht. Da im Inneren der Region kein weiteres Extremum existiert, muss das Extremum auf dem Rand liegen.
Es gibt nun zwei Fälle:
(1) 0≤a≤10, 1≤b≤9
(2) 1≤a≤9, 0≤b≤10da mindestens eine Kugel in jeder Kiste liegen muss. (Ansonsten hätte er nur die schwache 50-50 Chance und es ist klar, dass das nicht die beste Strategie ist.)
Die möglichen Fälle sind, dank Symmetrie (a=1 ist die selbe Situation wie a=9 einfach die Kisten vertauscht), nur noch (0,b), (a,1), (1,b), (a,0) mit den Einschränkungen von oben. Damit müssen wir die Maxima finden von:
P1=21(20−b10) → b=9, P1=2210 P2=21(a+1a+19−a10−a ) → a=4, P2=53 P3=21(1+b1+19−b9) → b=0, P3=1914 P4=21(aa+20−a10−a) → a=1, P4=1914
Hierbei muss man nur in einer Variablen maximieren. Man sieht leicht, dass (a,b) = (1,0) die höchste Wahrscheinlichkeit, nämlich 14/19=0.736842, ergibt.
Ich hoffe diese Erklärung ist verständlich genug, bei Unklarheiten gerne nachfragen.