Nullstelle Kosinusfunktion?
Wieso ist es so, dass die Nullstelle
Pi/2 + kPi = cos(x)?
Ja mir ist klar, dass das die Sinusfunktion ist bloß, dass sie um 90° in Richtung negativer x-Achse verschoben ist. Also: cos(x)=sin(x+90°).
So und wenn ich jetzt die Nullstelle der Funktion haben will:
y= sin(x+c) dann ist die Nullstelle ja: kPi-c.
Und wenn ich jetzt für c=90°. Dann sieht man, dass das dasselbe wie die Kosinus Funktion ist. Dann müsste doch dann die Nullstelle sein: kPi-90°. Aber die Nullstelle der Kosinusfunktion lautet aber nicht kPi-90° sondern kPi+90°. Was aber in meinen Augen keinen Sinn macht. Ich hoffe jemand versteht was ich meine.
5 Antworten
Also,zuerst mal bei Funktionen immer den Rechner auf "rad" (Radiant,Winkel in Bogenmaß) einstellen.
Winkel in Bogenmaß siehe Mathe-Formelbuch
Y=f(x)=sin(x) und y=f(x)=cos(x) sind beide harmonische Schwingungen und die Graphen sind beide gleich und sich nur um pi/2=90° gegeneinander verschoben
es gilt y=f(x)=cos(x)=sin(x+pi/2)
und y=f(x)=sin(x)=cos(x-pi)
y=sin(x+b)
b > verschiebt nach "links"
b>0 verschiebt nach "rechts"
Da ja beide Funktionen den selben Graphen haben,kann man durch verschieben die beiden Funktionen umwandeln.
Vorausetzung ist y=sin(w1*x) und y=cos(w2*x) w1=w2 also
y=sin(w*x) und y=cos(w*x)
wäre w1 ungleich w2 ,dann ergäbe sich bei einer Überlagerung keine "harmonische Schwingung" mehr.
Ergebnis wäre dann eine "periodisch" auftretende "Zackenkurve".
Da aber der Kurvenverlauf "periodisch" ist (es treten immer die selben Werte auf),gibt es auch unendlich viele Nullstellen und Extrema.
y=sin(x) hier ist x der Winkel in "rad" (Radiant,Bogenmaß)
allgemeine Form y=f(t)=a*sin(w*t+b)
t ist die Zeit in Sekunden
w ist die Winkelgeschwindigkeit in rad/s (rad pro Sekunde)
b ist der Phasenwinkel,verschiebt entlang der xAchse
Beispiel : y=f(t)=2*sin(2*t)
mit t=10 s ergibt den Winkel bei t=10 s also Phi=2 rad/s*10s=20 rad
a=2 ist ein Vektor,der sich im "Einheitskreis" linksherum dreht
also ergibt w*t den Winkel zwischen den Vektor a und der x-Achse.
Folge: - man trägt auf der x-Achse den Winkel auf
und zusätzlich noch die dazugehörige Zeit t
Beispiel : w=2 rad/s
ein Vollkreis in rad ist 2*pi
Phi=w*t =2*pi ergibt t=2*pi/2=3,14 s
also braucht der Vektor für 1 Periode (1 positive Halbwelle u. 1 negative Halbwelle)
3,14 s weil 2rad/s*3,14 s=2*pi rad=6,283 rad
also auf der x-Achse den Winkel auftragen 2*pi und die dazugehörige Zeit t=3,14 s
Vielleicht hilft noch folgendes:
Wenn man die Mengen
A = {k*π + π/2} (k ganzzahlig) und
B = {k*π - π/2} (k ganzzahlig)
vergleicht, kann man feststellen, dass A = B ist.
(nur die Nummerierung der Elemente bzw. Nullstellen ist um 1 verschoben)
Ja genau, sie ist um 1 verschoben. Also die 1. Nullstelle vom Kosinus ist Pi/2 die 2. Nullstelle ist Pi mal 3/2. Die 3. Nullstelle ist 5mal Pi/2 usw.
Wenn ich jetzt aber die 1. Nullstelle ausrechnen will. Dann kann ich nicht diese Formel nehmen: k*Pi+90° dann komme ich nämlich nicht auf die Pi/2 sondern auf Pi mal 3/2.
Cosinus ist eine periodische Funktion. Ob du sie um Pi halbe nach links (also negativ) verschiebst oder Pi halbe nach rechts (positiv) ist einfach egal.
Denn k ist Element der ganzen Zahlen! Ob ich jetzt k= +1 in die Gleichung k*PI - 90 (gäbe hier cos(90) ) einsetzte oder k= -1 in die Gleichung k*Pi + 90 (gäbe cos(-90) ). das Ergebnis bleibt stets das selbe - der cos ist = 0 für alle vielfachen von Pi/2. ob ich jetzt 3/2 Pi, 5/2 Pi, 7/2 Pi oder auch - 9/2 Pi einsetze.
Beispiel oben: cos(-90) = cos(90) = 0
Ja du darfst beide nehmen. Du darfst die null auch einsetzen (sie ist ja Element der ganzen Zahlen)
Mmh ok, was ich bemerkt habe, wenn ich k mal Pi - 90° habe, und für k -1 einsetze, dann würde ich damit auch quasi -Pi/2 überspringen, außer ich setze Null ein. Also nochmal ich darf doch beide Formeln für den Kosinus dann nehmen oder? Keine ist ja falsch.
Nein, du überspringst sie nicht. Sie bleibt bei Pi/2. setz halt für k einfach 0 ein und du hast deine nullstelle ;)
Die Kosinusfunktion ändert sich ja auch nicht auch nicht die Nullstellen. Aber wenn ich die 1. Nullstelle nach dem Koordinatenursprung haben möchte, dann ist diese Pi/2. Also die 1. Nullstelle vom Kosinus ist Pi/2 die 2. Nullstelle ist Pi mal 3/2. Die 3. Nullstelle ist 5mal Pi/2 usw. Wenn ich jetzt aber die 1. Nullstelle ausrechnen will. Dann kann ich nicht diese Formel nehmen: k*Pi+90° dann komme ich nämlich nicht auf die Pi/2 sondern auf Pi mal 3/2.
Verstehst du was ich meine? Das sind zwar dieselben Nullstellen, aber ich komme so nicht an die 1. Nullstelle ran. Denn die 1. Nullstelle nach dem Koordinatenursprung ist Pi/2 und nicht Pi mal 3/2.
Denn mein Lehrer hat mir gesagt, wenn ich für k zB 2 einsetze, dann berechne ich damit die 2. Nullstelle. Wenn ich 1 einsetze, dann die 1. Nullstelle. Und so weiter. Verstehst du wie ich das meine, dass man dann nicht die 1. Nullstelle berechnen kann? Denn wenn ich +90° rechne dann überspringe ich damit die 1. Nullstelle.
K ist Element der ganzen Zahlen.
Zeichne dir doch den cosinus mal auf. Dir wird auffallen, dass die nullstellen immer wieder kommen. Und zwar in regelmäßigen Intervallen - nämlich alle 180 grad.
Wie du siehst kannst du also k von minus bis plus unendlich wählen, so lange erfüllt ist, dass es eine ganze Zahl ist.
Du kannst auch sagen, dass cos(x) = sin(x-90). An den nullstellen ändert sich nichts.
Das würde ich allerdings nicht machen. Der cosinus ist eine eigenständige Funktion, also schreibe ich cos(x) und drücke ihn besser nicht durch den Sinus aus, da können schnell denkfehler passieren.
Ok ich habe mal eine Frage: was ist denn genau dieses k? Muss man da immer +1 und -1 einsetzen für die Nullstelle?
Ok also kann ich sagen: für die Funktion:
y=sin(x+90°), sind die Nullstellen 90° und 270°.
Das habe ich mit der Formel ausgerechnet: k*Pi-c
Jetzt sieht man vllt, dass das der Kosinus ist. Aber da es bei der Kosinusfunktion so ist, dass es egal ist, ob ich sie um 90° nach links oder rechts schiebe, kann ich auch bei der Kosinusfunktion schreiben: k*Pi+90°.
Also kann es sein, dass sich das mit dem plus so eingebürgert hat? Denn wenn ich Minus schreibe wäre das ja nicht falsch oder? Denn es kommt ja dasselbe raus
Skizziere dir doch bitte mal die Graphen zu y=sin(x) und zu y=cos(x) , markiere die Nullstellen von Sinus blau und die von Cosinus rot und schau dir die entstandene Zeichnung genau an.
http://www.walter-fendt.de/html5/mde/sincostan_de.htm
Schau dir dies mal an.
Was ist denn w1 und w2?