Verschiedene wahr oder falsch Fragen Unimathe?
Hallo, ich habe folgende Fragen:
1) Ist y´ = t/y eine lineare DGL ?
2) Wann bilden die Lösungen einer DGL einen Vektorraum? Bzw. wie kann ich das ohne nachzuprüfen schon an der DGL feststellen: z.B: y´=2y+t
3) Wenn ich eine konvexe Funktion habe
a) ist dann die Menge {f(x) < 4} konvex?
b) ist dann die Mange {f(x) = 3} konvex?
2 Antworten
Ist y´ = t/y eine lineare DGL ?
Nein, schaue dir am besten an, wie lineare DGL definiert sind, dann sollte es eigentlich eindeutig sein.
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Lineare_gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung
Wann bilden die Lösungen einer DGL einen Vektorraum? Bzw. wie kann ich das ohne nachzuprüfen schon an der DGL feststellen: z.B: y´=2y+t
Ich meine, dass du eine homogene lineare DGL vorliegen haben musst, damit das gilt (kann es aber nicht garantieren)
ist dann die Menge {f(x) < 4} konvex?
Versuch es Mal zu beweisen:
seien f(x) und f(y) kleiner als 4.
Zeige, dass dann f(tx+(1-t)y)<4 für alle t in (0,1) gilt. Nutze dabei, dass f konvex ist.
ist dann die Mange {f(x) = 3} konvex?
Du kannst da ziemlich leicht ein Gegenbeispiel finden.
Versuche eine Funktion zu finden, die Konvex ist und den Wert 3 exakt zwei Mal annimmt.
Theoretische reicht auch eine Skizze aus.
Gilt dann für beide Fragen zur Konvexität wahr? Denn wenn ich als Funktion x^2 nehmen wird der wert f(x)=3 zweimal angenommen und wenn ich die eingeschlossene menge unterhalb der Verbindungsline von f(x) = 4 betrachte dann ist diese ja auch konvex oder denke ich da falsch?
Denn wenn ich als Funktion x^2 nehmen wird der wert f(x)=3 zweimal angenommen
Bist du dir sicher, dass die Menge {sqrt(3), - sqrt(3)} konvex ist?
a ist Wahr, b nicht.
1) nein, denn in einer linearen Differentialgleichung tritt die abhängige Variable (also hier y) nur linear auf. Hier steht aber y im Nenner.
2) Du kannst zumindest einiges ausschließen. Zunächst kann ein Untervektorraum ja nur vorliegen wenn die Nullfunktion eine Lösung ist (warum?). Weiter muß natürlich die Differentialgleichung selbst linear sein (warum?). Welche Bedingung ist bei der von dir vorgelegten Gleichung verletzt?
3) Was ist denn die Definition einer konvexen Funktion? Was ist die Definition einer konvexen Menge?
Wie finde ich denn ein Gegenbeispiel bei der letzten Frage?