n^3+5n durch 6 teilbar?
Hallo,
ich habe folgende aussage versucht zu beweisen und komme am ende auf die lösung, die auf dem bild zu sehen ist. Die erste klammer ist durch 6 teilbar, dass war ja die annahme. 6|6 ebenfalls richtig. Aber ist die mittkere klammer durch 6 teilbar? Ubd wenn ja wieso?
5 Antworten
Ja, ein Weg dies zu zeigen ist die vollständige Induktion:
für 1 ist n^3+5=1+5=6, also durch 6 teilbar.
Schritt von n zu n+1:
(n+1)^3 + 5 (n+1) =
= n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 5n + 5
(n^3 + 5n) + 3n^2 + 3n + 6
(n^3 + 5n) + 3n (n+1) +6
d.h. wenn n^3 + 5n durch 6 teilbar ist (das haben wir für n=1 gezeigt), so ist gilt dies auch für jedes weitere n.
3n*(n+1) ist durch 6 teilbar, weil entweder n oder n+1 eine gerade Zahl ist und eine gerade Zahl * 3 durch 6 teilbar ist.
6 ist durch 6 teilbar.
Und n^3+5 war ja vorausgesetzt.
Wir haben also eine Summe von der jeder Summand durch 6 teilbar ist . Somit ist auch die Summe durch 6 teilbar
Nur als Hinweis, man kann die Aussage auch direkt verifizieren:
n³+5n = (n²+5)n
Das ist
1. Immer durch 2 teilbar, weil entweder n²+5 oder n gerade ist
2. Also durch 6 teilbar, wenn n oder n²+5 durch drei teilbar sind
Es gibt drei Fälle:
n durch 3 ergibt Rest 0 1 oder 2. Der erste Fall ist trivial
Zweiter Fall (n = 3m+1): Der Faktor (3m+1)²+5 = 9m²+6m+1+5 ist zweifellos durch 3 teilbar.
Dritter Fall (n = 3m+2): Der Faktor (3m+2)²+5 = 9m²+12m+4+5 ist ebenfalls durch 3 teilbar.
Der untersuchte Term ist also in allen Fällen durch 2 und durch 3 teilbar, also auch durch 6.
Hier eine weitere Antwort von mir unter Berücksichtigung deiner Kommentare:
Vollständige Induktion funktioniert in 2 Teilen.
1) man zeigt WENN ein etwas für ein bestimmtes n gilt, so gilt er auch für alle folgenden!
2) man zeigt, dass die Relation für ein bestimmtes n gilt.
In deinem Fall: du zeigst WENN n^3+5n durch 6 teilbar, DANN ist auch (n+1)^3+5 (n+1) durch 6 teilbar. Während dieses Schrittes darfst/musst du davon ausgehen, dass n^3+5n durch 6 teilbar ist.
Nun zeigst du, DASS die Annahme für ein bestimmtes n (1, 0, -10, was auch immer) gilt.
Hast du ein "gültiges" n gefunden, so weißt du auch, dass dies auch für jedes folgende n (bis zur Unendlichkeit) gilt.
Und noch eine Variante ohne Induktion
n³ + 5n = n³ - n + 6n = n • (n²-1) + 6n
= (n-1) • n • (n+1) + 6n
und das Produkt aus drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer durch 2 und durch 3 teilbar.
Der Beweis, dass das Produkt n aufeinanderfolgender natürlicher (oder ganzer) Zahlen immer durch n! teilbar ist, ist entweder schon geführt worden oder muss noch geführt werden, vorzugsweise mit vollständiger Induktion.
? Dass von drei aufeinanderfolgenden Zahlen einer in der 3er Reihe ist und mindestens einer in der 2er Reihe, ist nicht induktionswürdig , sondern triviales Grundschulwissen.
Und überhaupt, was soll das mit der Fakultät? Sehe ich ja jetzt erst. Davon ist doch überhaupt keine Rede.
3 • n • (n+1) ist durch 6 teilbar. Durch 3 ist es ja wegen der 3 teilbar, durch 2, weil n oder n+1 gerade ist.
verstehe nicht, wieso auch der ganze Ausdruck in der letzten Zeile durch 6 teilbar ist, wenn gilt: n³+5n durch 6 teibar ist.