Gibt es in der Mathematik einen Unterschied zwischen einer Herleitung und einem Beweis?
Gibt es in der Mathematik einen Unterschied zwischen einer Herleitung und einem Beweis? Oder anders: Wenn für eine Aussage A gezeigt werden soll, dass sie unter gegebenen Umständen immer wahre Aussagen liefert, d.h. sie soll bewiesen werden - ist das äquivalent zu einer Herleitung (unter der Annahme, dass die Herleitung richtig sei)?
2 Antworten
Man könnte sagen: Der Beweis ist das, was eindeutig belegt, dass die getroffene Aussage grundsätzlich richtig ist, die Herleitung zeigt, wie man überhaupt auf die Idee der Aussage kommt.
Für manche Sätze oder Aussagen ist das identisch, z. B. für die binomischen Formeln oder die p-q-Formel. Für manche Sätze gibt es aber gar keine richtige mathematische Herleitung, sondern da hat einfach irgend jemand einen Zusammenhang "gesehen" und ihn dann zunächst als "Vermutung" formuliert und nach einem Beweis gesucht.
Ein berühmtes Beispiel: die Fermat'sche Vermutung: Fermat wusste, dass es unendlich viele ganzzahlige Lösungen für den Satz des Pythagoras gibt (z. B. 3² + 4² = 5²), er fand aber keine einzige ganzzahlige Lösung für die Gleichung a^3 + b^3 = c^3 (oder allgemeiner für a^n + b^n = c^n mit n>2). Daraufhin äußerte er die Vermutung, dass es grundsätzlich keine ganzzahlige Lösung geben würde, das ist aber keine Herleitung im mathematischen Sinne - tatsächlich bewiesen wurde die Aussage erst 350 Jahre später mit mathematischen Mittel, die zu Fermats Zeiten noch gar nicht bekannt waren. Herleiten konnte Fermat seine Aussage also nicht.
Das mit Fermats letzten Satz kannte ich auch, weil ich das Buch dazu in der 12. Klasse mal gelesen habe. Danke für deine Antwort!
Hallo tcp95!
Zu tun hat das beides miteinander, obwohl ich denken würde, dass es nicht identisch ist. Dem Bestreben der Mathematiker nach Kürze würde ich sagen, dass ein Beweis oft sehr viel kürzer sein kann, als eine Herleitung. Aber natürlich lässt sich mit einer korrekten Herleitung eine Aussage beweisen.
Vor allem aber unterschiedet sich beides durch das jeweilige Motiv. Eine Herleitung soll eben auch erklären, wie es zu einer Aussage kommt. Für einen Beweis genügt machmal viel weniger.
Gruß Friedemann
In meiner Übungsaufgabe gestaltet sich die Herleitung aber recht kurz (eine Halbe Seite); ich war mir nur nicht sicher, ob das als "Beweis" durchgeht. Aber danke für deine Antwort^^