Muss eine Funktion stetig sein zum Integrieren?
4 Antworten
Nein.
Z.B. f(x) = 1 für 0 ≤ x < 1 und f(x) = 2 für 1 ≤ x < 2 ist in 1 nicht stetig.
Das Integral von 0 bis 2 wäre hier 3.
aber stückweise stetig sein...............was sie hier nicht ist ? ? ?
Doch die Funktion ist in den Bereichen [0 ; 1] und [1; 2] jeweils stetig und damit im Bereich von 0 bis 2 stückweise stetig. Die Funktion f(x) = 0 für x aus Q und 1 sonst, ist nirgends stetig und daher auch nicht nach Riemann integriebar.
Bei Desmos zeigt es immer eine halbe senkrechte Strecke an.
Bei Geogebra zeigt es manchmal auch eine senkrechte Strecke an, aber nie nur zur Hälfte.
Ich hatte zuvor nicht so genau darauf geachtet, wie verschiedene Plotter mit der Signumsfunktion umgehen.
Praktisch gesehen: nein - denn die Fläche ist auch mit Sprungstellen definiert.
Mathematisch streng weiß ich nicht: da sagt besser ein Mathematiker was dazu. Es gibt ja auch "perverse" Unstetigkeiten, die mehr sind, als bloße Sprünge - in der "Alltagspraxis" kommt sowas aber kaum vor.
Wie wär es mit:
f(x) = 1 für x rational, ansonsten 0.
Stetig ist das sicher nicht.
Was ein Integral hier aber ergibt, kann ich nicht sagen - da muss man aber auch den Integralbegriff verfeinern (Maßtheorie?) und das geht über den Schulstoff weit hinaus. Ich vermute es kommt Null raus - aber das ist nur ein Bauchgefühl.
Dein Bauchgefühl trügt dich nicht, deine Vermutung ist korrekt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Funktion#Lebesgue-Integrierbarkeit
;-)
Nein, Unstetigkeiten sind sogar wichtig.
Bsp.: Das Integral von -1 bis 1 von f(x) = 1/x ist 0, obwohl die Funktion im Nullpunkt heftigst unstetig ist.
Nicht unbedingt.
Für die Integration nach Cauchy bzw. Riemann (die in der Schule verwendet wird) muß die Funktion aber stückweise stetig sein. Bei der Integration nach Lesbegue ist auch dies nicht nötig.