Multiple-Choice-Test Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Hallo,
Also folgende Angabe:
Es gibt 20 Fragen und zur jeder Frage 4 Antwortmöglichkeiten
Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass man min. die Hälfte richtig hat? Hier komme ich auf 97,3 %
Wie groß ist die Wk, dass man höchstens ein Viertel richtig hat? Hier komme ich auf 20,2 %
Bin mir nicht ganz sicher ob, das stimmt. 97 % scheinen mir doch ziemlich hoch.
Vielen Dank schonmal, Daniel
4 Antworten
Hallo,
mindestens zehn von 20 Fragen sollen richtig beantwortet sein.
Fangen wir mit 10 von 20 an. Bei jeder Frage ist die Chance, das Richtige zu raten, 0,25; die Chance, falsch zu liegen, entspricht aber 0,75.
Wenn zehn Fragen richtig sind, sind die anderen zehn falsch. Die Chance, daß die ersten zehn Fragen richtig sind, liegt bei 0,25^10*0,75^10. Das mußt Du aber noch mit der Anzahl der Möglichkeiten multiplizieren, wie die zehn richtigen Antworten unter den zwanzig Fragen verteilt sein können, das ist der Binomialkoeffizient 20 über 10 (Taschenrechner: 20nCr10).
Insgesamt also 0,25^10*0,75^10*20nCr10=0,00992, also knapp unter einem Prozent. Dazu mußt Du aber noch die Wahrscheinlichkeiten für 11, 12, 13...20 Richtige addieren. Das geht am besten über die Summe von 10 bis 20
(0,25^n*0,75^(20-n)*20nCrn). Wenn Du eine Summenfunktion am Taschenrechner hast, ist das einfach, hast Du sie nicht, mußt Du entweder die Einzelergebnisse für alle n von 10 bis 20 addieren oder eine Summenformel finden, die alles in einem Rutsch erledigt (hab ich nicht, dafür einen Taschenrechner).
Der Rechner kommt auf eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 0,016, also gerade mal schlappe 1,6 %.
Wer nun meint, einen Multiple-Choice-Test nur durch Raten bestehen zu können, sollte sich auf eine herbe Enttäuschung gefaßt machen.
Herzliche Grüße,
Willy
Die richtige Formel hat dir ja schon Willy1729 gezeigt.
Falls du auf die Formel keinen Bock hast, dann geht es auch mit einem Computerprogramm.
Da brauchst diese Programmiersprache -->
Darauf achten die Linux-Version zu verwenden, falls du Linux verwendest.
Den nachfolgend aufgelisteten Quellcode komplett / vollständig markieren und mit der Tastenkombination STRG + C oder per Rechtsklick kopieren und in den gestarteten / geöffneten QB64-Editor reinkopieren mit der Tastenkombination STRG+V
Danach in der QB64 - Menüleiste auf RUN --> START (F5) gehen und das Programm dadurch starten.
Hier beginnt der Quellcode -->
DECLARE FUNCTION Zufall# ()
DEFDBL A-Z
CLS
PRINT "Es wird gerechnet, bitte etwas warten ..."
PRINT
a = 4#
m = 20#
p = 0#
b = 2#
n = 1000000#
Anzahl = 0#
FOR j = 1 TO n
Merke = 0
FOR i = 1 TO m
w = INT(a * Zufall) + 1
REM Wenn es pro Multiple-Choice-Frage nur eine einzige richtige Antwort gibt :
IF w = 1 THEN Merke = Merke + 1
NEXT i
IF Merke >= m / b THEN Anzahl = Anzahl + 1
NEXT j
p = Anzahl / n
REM Das Ergebnis auf 3 Stellen nach dem Komma ausgeben :
PRINT "p = "; 100# * INT(p * 10 ^ 3 + 0.5) / 10 ^ 3; " %"
END
FUNCTION Zufall STATIC
Anzahl = Anzahl + 1
IF Anzahl = 1 THEN z = 13#
a = 513#
c = 29741096258473#
p = 2# ^ 48#
g = INT((a * z + c) / p)
z = (a * z + c) - g * p
Zufall = z / p
END FUNCTION
<-- Hier endet der Quellcode
Man erhält für Aufgabe 1.) eine Wahrscheinlichkeit von 1,4 %
Für Aufgabe 2.) muss im Programm die Zeile b = 2 in b = 4 umgeändert werden und die Zeile IF Merke >= m / b THEN Anzahl = Anzahl + 1 muss in IF Merke <= m / b THEN Anzahl = Anzahl + 1 umgeändert werden.
Dann erhält man in Aufgabe 2.) eine Wahrscheinlichkeit von 61,8 %
Das ist das, was der User gottistschwul48 geschrieben hat.
Jeder der die Programmiersprache QBASIC / QUICKBASIC kennt und versteht, sollte mühelos in der Lage sein dieses Programm auf persönlichem Wunsch in andere Programmiersprachen zu übersetzen und / oder es nach seinen eigenen Wünschen zu modifizieren / anzupassen und aufzuhübschen, wenn man will.
Das Programm ist eine sogenannte Monte-Carlo-Simulation.
Es wurden in dem Programm 1000000 Experimente durchgeführt, und eine Erhöhung auf das zehnfache oder hundertfache ändert am Ergebnis nichts mehr.
Zu beachten ist noch, dass diese Ergebnisse nur unter der Annahme gelten, dass es unter den 4 Antwortmöglichkeiten jeweils nur eine einzige richtige gibt.
1. ~1,4%
2. ~61,7%
Summierte Binomi mit n=20, p=1/4, q=3/4
1. k=10 bis 20
2. k=0 bis 5
Also die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Antwort pro Frage beträgt genau 1/4.
bei zwei Fragen sind das 1/4 x 1/4 oder (1/4)² also 1/16.
damit die Halfte aller Fragen richtig ist, müssen zehn Fragen mit der Wahrscheinlichkeit 1/4 richtig sein, also beträgt die Wahrscheinlichkeit (1/4)^10=1/1048576 oder 0,00000095367431640625.