Mehrdimensionale Integrale?
Ich beschäftige mich gerade mit mehrdimensionalen Integralen und hänge bei der Volumenberechnung, eine konkrete Frage zu einer Aufgabe habe ich keine, mir geht es primär nur ums verstehen.
Ich suche nach einer anschaulichen Erklärung, am besten Stückchenweise zerlegt in die Teilintegrale. Die Geschichte mit der xy-Ebene scheint stimmig zu sein, reicht mir jedoch so noch nicht. Weil ich nicht verstehe wieso ich dann auf ein Volumen komme, dazu später mehr.
Hab es mir mal so überlegt, ich betrachte erst das innere integral von c bis d über f(x, y) dx. Das liefert die Grundfläche von meinem Volumen in Abhängigkeit von y. Soweit komme ich noch.
Jetzt habe ich die Flächenfunktion in Abhängigkeit von y und integriere nun nach y, von a bis b. Nur wieso liefert mir das ein Volumen? Die Flächenfunktion aus dem inneren Integral in Abhängigkeit von Y wird ja nochmal integriert, also hab ich dann die Fläche unter der Flächenfunktion. Wieso ist dass dann ein Volumen?
Kann das jemand einem doofen Abiturienten einfach erklären? xD
3 Antworten
Bei Prismen und Zylindern (und anderen Körpern, die entsprechend aufgebaut sind) gilt:
Nun hast du das innere Integral, welches dir den Flächeninhalt für einen gewissen y-Wert liefert. Multipliziert man diesen Flächeninhalt mit einer infinitesimalen Schichtdicke dy (als Dicke/Höhe der Schicht), erhält man das Volumen einer infinitesimal dicken Schicht. Summiert man dann (mit dem äußeren Integral) die Volumina dieser infinitesimal dicken Schichten, erhält man das gesamte Volumen.
Warte warte jetzt bin ich nah dran.
Auf die Idee kam ich tatsächlich auch schon, nur hab die verworfen weil ich dachte die sei schwachsinnig und kam dann auf was anderes komisches.
Ich glaube ich verstehe es jetzt, man geht mit dem y-Wert immer weiter gegen die obere Grenze und erhält dann immer das Volumen einer Schicht, die werden am Ende addiert. Ich weiß jetzt auch wieso man es mit dieser xy-Ebene erklärt, denn für mich hat das erstmal gar keinen Sinn gemacht was du mir erklärt hast, aber so ist es, das weiß ich jetzt. Denn ich habe versucht die Grundfläche auf die X-Achse zu Stellen oder wie auch immer und mir das gedanklich-räumlich vorzustellen, wenn man sich dann auf die Achsen im dreidimensionalen Koordinatensystem fixiert kann nur Quatsch rauskommen. Ohne die xy-Ebene als eine Ebene zu betrachten kommt man in gedankliche Schwierigkeiten, ich zumindest.
Anders kann es auch gar nicht sein, du weißt jetzt wahrscheinlich nicht was ich meine aber das ist irrelevant, vielen dank, genau das hat mir gefehlt =)
stell dir das integral als summe vieler kleiner summanden vor.
dann liefert dir das innere integral jeweils die fläche einer "scheibe" des gesamt volumens für ein festes y, und das äußere integral summiert dann alle diese scheiben auf.
Das Intergral über eine eine eindimensimnale Funktion ist der Wert des Flächeninhalts. Das Integral über die Oberfläche ist dann ein Volumen.
Ergänzung:
In der Anwendung in Physik integriert man häufig über eine Kugeloberfläche. Falls der wert der jeweiligen Funktion an jeder Stelle der Kugeloberfläche den gleiche Wert hat entspricht die Integration einer Mulitplikation.
Beispiele:
Ich ergänze meine Antwort. Ab er ich weiß nicht ob es dein Problem löst.
wenn du darauf eingehst, dann wird es mir ganz bestimmt helfen, danke =)
Okay, das ergibt sich schon von den ,,Einheiten" her, sei mir nicht böse wenn ich Einheiten sage, aber wenn ich schon an jedem Punkt eine Fläche habe bei meiner Flächenfunktion des inneren Integrals und dieses nochmal mit dy multipliziere dann hab ich am Ende bei der Einheit irgendwas mit hoch 3, ok.
Wenn ich das äußere Integral bilde, dann nimmt y mal alle Werte die zwischen a und b liegen an und werden eingesetzt und mit dy multipliziert. Genau hier ist mein Problem, sind das dann ganz viele Türmchen, bzw. Quader später die ich ausgerechnet habe und die zusammen bilden mein Volumen? Also hat der Turm eine seitliche Grundfläche von meiner Flächenfunktion( an der Stelle y) und dann wird noch mit dy multipliziert und dann hab ich erst was dreidimensionales?