Wieso hat ein Kreiskegel das selbe Volumen wie eine Pyramide?
Wir haben im Mathematikunterricht gelernt, dass ein gerader Kreiskegel und eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche das selbe Volumen haben, wenn sie gleich hoch sind und der Durchmesser der Grundfläche des Kegels der Seitenlänge der Grundfläche der Pyramide übereinstimmt.
Aus meiner Sicht ergibt das allerdings keinen Sinn, da der Kegel überall in die Pyramide rein passt und die Pyramide an den Ecken über steht, wodurch sie ja größer wäre.
Kann mir jemand erklären, warum das trotzdem so ist?
7 Antworten
Diese Aussage ist auch falsch.
Richtig lautet sie:
Ein Kreiskegel und eine Pyramide haben das gleiche Volumen, wenn Höhe und Grundfläche gleich sind.
Deine Überlegungen zum Widerlegen der ursprünglichen Aussage sind völlig richtig und sind, wenn sie mathematisch ordentlich ausformuliert sind, als Falsifizierung der Aussage absolut akzeptabel.
Weiter so. :-)
Du kannst das einfach durch Aufstellen einer Gleichung überprüfen.
Das Volumen eines Kreiskegels mit dem Durchmesser d berechnet sich so:
V = 1/3*π*(d/2)²*h = 1/3*π*d²/4*h = 1/3* 1/4*π*d²*h = 1/12*π*d²*h
Das Volumen einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche, bei der die Seitenlänge gleich dem Durchmesser der vorherigen Grundfläche, also d, ist, berechnet sich so:
V = 1/3 * d² * h
Jetzt setzen wir die beiden Volumina gleich, angeblich entsprechen sie ja einander:
1/12 * π * d² * h = 1/3 * d² * h
Jetzt noch auflösen:
1/12 * π * d² * h = 1/3 * d² * h | :h | :d²
1/12 * π = 1/3 | *12
π = 12/3
π = 4
Da hier ein Widerspruch entsteht (π ist ungleich 4!), gilt diese Annahme nie! Es gibt keinen Kegel, dessen Volumen einer solchen Pyramide mit quadratischer Grundfläche entspricht. Gibt es nicht.
LG Willibergi
Hier ging es aber darum, daß sie das gleiche Volumen haben, wenn sie in der Höhe übereinstimmen und der Durchmesser des Kreises der Seitenlänge des Quadrates entspricht - und das ist zweifelsohne falsch.
Möglicherweise hat der Fragesteller die Formel Volumen gleich 1/3 mal Grundfläche mal Höhe, die für Kegel und Pyramide gleich ist.
Allerdings werden die Grundflächen nach unterschiedlichen Formeln berechnet und dürfen nicht gleichgesetzt werden, denn die Fläche eines Kreises ist natürlich etwas anderes als die Fläche eines Quadrats, auch wenn Durchmesser des Kreises und Seite des Quadrates gleich sind.
Vielleicht hat er das auch mit dem Satz von Cavalieri durcheinandergeworfen, der besagt, daß eine schiefe Pyramide bei gleicher Grundfläche und Höhe dasselbe Volumen wie eine gerade besitzt, was auch für den schiefen wie den geraden Kegel gilt.
Aber man kann hier nur spekulieren, was der Lehrer im Unterricht wirklich gesagt hat. Ich hoffe nur, daß er nicht tatsächlich den Unsinn verbreitet, der in der Frage angesprochen ist.
Herzliche Grüße,
Willy
Kann alles sein. Ich würde aber auch stark ein Missverständnis von Schülerseite vermuten.
Die Formeln mit 1/3 mal Grundfläche mal Höhe haben wir gelernt, für beide Körper. Pyramiden haben wir vorher behandelt und jetzt wurde die Formel für den Kegel damit begründet, dass Kegel und Pyramide bei den in der Frage beschriebenen Bedingungen das selbe Volumen haben.
Aber wir haben, wie gesagt, die richtigen Formeln gelernt.
Sie haben aber nicht dasselbe Volumen. Bei gleicher Höhe müßte sonst bei beiden die Grundfläche gleich sein.
Wenn Du aber einen Kreis hast und ein Quadrat und der Kreis hat als Durchmesser die Seitenlänge des Quadrates, dann kannst Du diesen Kreis so in das Quadrat hineinzeichnen, daß er einen Inkreis darstellt, das bedeutet: er berührt die Mittelpunkte aller vier Quadratseiten. Der Kreis bedeckt das Quadrat aber nicht vollständig, sondern vom Quadrat schauen noch die Ecken hervor, was bedeutet, daß die Quadratfläche unter diesen Bedingungen größer als die Kreisfläche ist, und zwar um soviel größer, wie 4 größer als Pi ist. Wenn aber die Flächen nicht gleich sind, wie soll dann bei gleicher Höhe das gleiche Volumen herauskommen, es sei denn, die Grundfläche ist gleich Null?
Aber vielleicht erläßt Präsident Trump mal eine weltweite Verordnung, daß Pi gleich 4, dann paßt es.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo Scythero,
deine Überlegung ist richtig.
Kreiskegel und Pyramide haben gleiches Volumen - und nicht nur bei geraden Kreiskegeln oder geraden Pyramiden , sondern auch bei gekrümmten oder schrägen - , wenn Höhe und Grundfläche gleich sind.
Darum ging es aber nicht in der Frage, sondern darum, daß die Volumina gleich sind, wenn Pyramide und Kegel in der Höhe übereinstimmen und wenn der Durchmesser des Kreises, der die Grundfläche des Kegels bildet, der Seitenlänge des Quadrates, das die Grundfläche der Pyramide bildet, entspricht, was selbstverständlich falsch ist. In diesem Fall haben Kreis und Quadrat unterschiedliche Flächen und die Körper infolgedessen unterschiedliche Volumina.
Es gilt sogar bei beliebig geformter Grundfläche G und einer Höhe H, daß das Volumen gleich G H / 3 ist, wenn nur die Fläche quadratisch mit der Höhe abnimmt, wenn also G(h) = G(0) (1- h/H)^2 ist.
Wenn die Grundseite der Pyramide und der Durchmesser des Kegels übereinstimmen, ist diese Aussage auf jeden Fall FALSCH!
Richtig ist sie, wenn die Grundflächen beider Körper gleich groß sind.
(Das ist allerdings geometrisch nicht lösbar, weil die Quadratur des Kreises unmöglich ist.)
Entweder hast Du was falsch verstanden, oder Dein Lehrer hat kompletten Blödsinn erzählt ...
Hallo, an alle Kommentatoren:
Kreiskegel und Pyramide haben gleiches Volumen - und nicht nur bei geraden Kreiskegeln oder geraden Pyramiden , sondern auch bei gekrümmten oder schrägen - , wenn Höhe und Grundfläche gleich sind.