Matrix eindeutig lösen - wie?
Hallo Leute, brauche Hilfe zu folgender Matrix:
Aufgabe:
Wie ermittelt man am schnellsten, ob ein lineares Gleichungssystem, wie das obige, eindeutig lösbar ist? Für welche Werte von a hat das obige LGS eine Lösung?
LGS ist eindeutig lösbar da gilt: rang (A) = n = 3
Ich brauche allerdings Hilfe bei dem zweien Teil der Aufgabe!
Danke im voraus!
5 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Berechne die Determinante als Funktion von a. Schließ a-Werte aus, mit denen die Determinante Null wird.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Das LGS Ax=y ist eindeutig lösbar wenn die Matrix A regulär ist.
Das kannst du in dem Fall einfach über die Determinante von A prüfen, denn eine quadratische Matrix ist dann regulär wenn die Determinante ungleich 0 ist. Somit gilt:
Wenn gilt det(A) = 0 ist das LGS also nicht eindeutig lösbar.
Ein deinem Fall kannst du die Determinante über die Regel von Sarrus recht schnell anschreiben.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
LGS ist lösbar, falls der Rang der 3x3 Matrix = Rang der 3x4 Matrix ist (also Rang der normalen Matrix = Rang der Matrix mit dem Lösungsvektor dran). Guck also, bei welchen a sich das nicht verändert.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
siehe Mathe-Formelbuch "Cramersche Regel"
eindeutige Lösung,wenn die Koeffizientendeterminate ungleich Null ist
Lösung einer 3*3 Determinate mit der "Regel von Sarrus"
siehe Determinatengesetze
Eine Determinate hat den Wert Null
1) die Elemente von 2 "parallelen" Reihen proportional sind
2) die Elemente einer Reihe eine "Linearkompination" der Elemente "parallele Reihen" sind
3) alle Elemente einer Reihe Null sind
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Du musst die Determinante der Matrix berechnen.
Sie ist — in diesem Fall — eine Funktion D(a) der Variablen a.
Die Gleichung hat eine Lösung für genau die Werte a, für die D(a) ungleich 0 ist (da genau dann die Matrix invertierbar ist).