Lineares Gleichungssystem hat zu wenig Variablen, was machen?
Das LGS sieht folgendermaßen aus:
a + 2b + 3c = 23
a + b + c = 10
b + 2c = 13
b + c = 8
jedoch fehlt da ja eine Variable, wie soll ich das jetzt lösen?
4 Antworten
Ich würde das Gleichungssystem in Zeilen schreiben:
a + 2b + 3c = 23
a + b + c = 10
b + 2c = 13
b + c = 8
In der Tat, es ist eine Variable zu wenig - oder eine Gleichung zu viel.
Drei dieser Gleichungen determinieren alle 3 Variablen (welche, ist eigentlich egal), und die verbliebene könnte im Prinzip alles zunichte machen - was sie in diesem Fall allerdings nicht tut.
Tatsächlich bestätigt sie nur das, was schon die anderen drei Gleichungen aussagen. Man spricht von einem linear abhängigen Gleichungssystem. Es ist so, als drücke man einen Punkt im 3D-Raum mit 4 Koordinaten aus, was geht, aber unnötig ist. Jedenfalls führt das aber dazu, dass das Gleichungssystem überhaupt lösbar ist.
Zieht man die 4.Zeile von der 2. ab, erhält man sofort a=2.
Zieht man die 4.Zeile von der 3. ab, erhält man c=5, und daraus ergibt sich b=3. Die erste Zeile lässt sich als Summe aus der 2. und der 3. ausdrücken, das ist es, was ich mit „linear abhängig“ gemeint habe.
Da sieht man ja kaum, wo eine Gleichung aufhört und die nächste beginnt!
Meinst du das so?
a + 2b + 3c = 23,
a + b + c = 10,
b +2c = 13,
b + c = 8
Falls dein Problem ist, dass dir bei den letzten beiden Gleichungen ein a fehlt, so kannst du 0a addieren. Denn Addition mit 0 ändert nichts.
1a + 2b + 3c = 23,
1a + 1b + 1c = 10,
0a + 1b + 2c = 13,
0a + 1b + 1c = 8
Ist das so angenehmer für dich?
Das Gleichungssystem (zumindest das, welches ich aufgrund deiner Frage vermutet habe) ist übrigens eindeutig lösbar mit:
a = 2, b = 3, c = 5
Dass eine Variable „zu wenig“ da ist, könnte das LGS theoretisch unlösbar machen.
Hier noch mein Lösungsweg:
Oder ist dein Problem, dass du 4 Gleichungen, aber nur 3 Unbekannte hast? Auch das kann man durch Addition von 0 beheben, wenn man es denn möchte ...
1a + 2b + 3c + 0d = 23,
1a + 1b + 1c + 0d = 10,
0a + 1b + 2c + 0d = 13,
0a + 1b + 1c + 0d = 8
Das ist jedoch unnötig. Du kannst beispielsweise auch zunächst das Gleichungssystem mit drei von den vier Gleichungen lösen, und das so erhaltene Ergebnis dann in die vierte Gleichung einsetzen. Wenn die vierte Gleichung dann wahr wird, passt das Ergebnis. Wenn die vierte Gleichung falsch wird, ist das Gleichungssystem nicht lösbar.
Wenn du beispielsweise den Gauß-Algorithmus verwendest, so funktioniert dieser auch ohne Probleme mit 4 Gleichungen und 3 Unbekannten, so dass du da keine Tricks oder großartige weitere Überlegungen anstellen musst.
Zieh die 4. von der 3. ab und du hast b=3, dann kannstt du es in die 4. einsetzen und erhälst c=5 und dann c und b in die erste oder zweitte einsetzen und du kriegst a=2.
Die erste Gleichung könnte aber „alles versauen“, wenn sie nicht Summe der 2. und 3., sondern mit ihr inkompatibel wäre.
Man kann kein lieares Gleichungssystem erkennen, da Du keine Zwischenräume zwischen den verschiedenen Gleichungen gelassen hast.
Da kannst Nicht zuwenig Unbekannte haben, nur zuviel.
Schreibs mal richtig und dann werden wir weiter sehen.
Dazu brauchst Du doch keinen Rechner, das löst man in 2-3 Zeilen auf dem Papier:
aus b+c = 8 folgt b= 8-c
in die Dritte Gleichung eingesetzt: 8-c +2c = 13 --> c= 13-8 =5
oben eingesetzt: b=3
in die zweite eingesetzt: a + 3 +5 = 10 --> a = 2
Jetzt kann man alles in die erste einsetzen und feststellen, dass es auch dort paßt. fertig !!!
Man kann kein lieares Gleichungssystem erkennen, da Du keine Zwischenräume zwischen den verschiedenen Gleichungen gelassen hast.
Man sieht allerdings die Gleichheitszeichen. Dahinter steht nur noch eine Zahl.
Da kannst Nicht zuwenig Unbekannte haben, nur zuviel.
Natürlich können es zu wenige sein. Ein Gleichungssystem mit mehr Variablen als Gleichungen lässt sich lösen, wenn auch nicht eindeutig. Eines mit weniger Variablen ist vielleicht zufällig lösbar, nämlich, wenn die Gleichungen linear abhängig sind, sonst nicht.
das stimmt nicht- da er immer wieder leerzeichen gelassen ht, weiß man nicht wo die neue Gleichung beginnt
z.B. kann das ersten beiden Gleichung als a+2b+3c=2 // 3a+b+c=10 sehenoder so wie er sie jetzt konkretisiert hat.
Natürlich hast du mit deinem zweiten Teil recht Es gibt unterbestimmte Gleichungssysteme; aber bei der Art und Weise der Fragestellung, war es sehr zwifelhaft, dass der Frage damit etwas anzufangen weiß.
So wie ich ihn verstanden haben, weiß er sowieso nicht, wie man ein Gleichungssystem löst, sondern wollte es einfach in CAS eintippen ohne zu verstehen, was er da bekommt.
Ich hoffe es steht jetzt richtig da
a + 2b + 3c = 23,
a + b + c = 10,
b +2c = 13,
b + c = 8
ich würde gerne einen Lösungsweg haben, wenn ich das bei mir im CAS eingebe steht da: Mehr Gleichungen als Variablen