Mathematik: Modellieren von Daten mit quadratischen Funktionen?
Hallo zusammen,
kann mir bitte jemand erklären wie ich mit zwei Punkten (Scheitelpunkt und einem anderen Punkt) auf dei Funktionsgleichung komme und somit weitere Punkte modellieren kann? Ich verstehe nicht wie die auf a= - 1/4 kommen. Freue mich über jede Hilfe.
VG
Fabian
2 Antworten
Natürlich! Wenn du den Scheitelpunkt einer Parabel und einen weiteren Punkt hast, kannst du die Funktionsgleichung der Parabel bestimmen. Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion (Parabel) lautet:
f(x) = a(x - h)^2 + k
Dabei sind (h, k) die Koordinaten des Scheitelpunkts. Um die Funktionsgleichung zu bestimmen, setzen wir die Koordinaten des Scheitelpunkts in die allgemeine Form ein:
f(x) = a(x - h)^2 + k
f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s
Nun kannst du den anderen Punkt (x_1, y_1) in die Funktionsgleichung einsetzen, um eine Gleichung zu erhalten:
y_1 = a(x_1 - h)^2 + k
Jetzt hast du zwei Gleichungen:
y_s = a(x_s - h)^2 + k
y_1 = a(x_1 - h)^2 + k
Um a zu bestimmen, kannst du die beiden Gleichungen subtrahieren:
y_s - y_1 = a(x_s - h)^2 - a(x_1 - h)^2
Da a ein gemeinsamer Faktor ist, können wir ihn ausklammern:
y_s - y_1 = a[(x_s - h)^2 - (x_1 - h)^2]
Nun können wir die Differenz der Quadrate verwenden:
y_s - y_1 = a[(x_s - x_1)(x_s + x_1 - 2h)]
Um a zu isolieren, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch [(x_s - x_1)(x_s + x_1 - 2h)]:
a = (y_s - y_1)/[(x_s - x_1)(x_s + x_1 - 2h)]
Indem du die gegebenen Werte von (x_s, y_s) und (x_1, y_1) in diese Gleichung einsetzt, kannst du den Wert von a berechnen. In deinem Fall scheint es a = -1/4 zu sein.
Sobald du den Wert von a hast, kannst du ihn in die allgemeine Form der quadratischen Funktion einsetzen und damit weitere Punkte modellieren, indem du verschiedene Werte für x einsetzt und die entsprechenden y-Werte berechnest.
Man hat die Scheitelpunktform genommen und dort den Scheitelpunkt (-1|2) eingesetzt. Man hat die "unvollständige" Scheitelpunktform erhalten, Zeile 1.
In diese hat man den weiteren Punkt (3|-2), d.h. x = 3 und y = -2 eingesetzt, Zeile2.
In Zeile 3 hat man gerechnet. Ausführlich:
a(3 + 1)² + 2 = -2
a ausrechnen, wie man das bei einer linearen Gl mit einer Unbekannten macht. Wie man das macht, sollte bekannt sein.
a(4)² + 2 = -2 |-2
16a = -4 |:16
a = -4/16
und den Bruch noch gekürzt.
In Zeile 4 hat man die "unvollständige" Scheitelpunktform aus Zeile 1 genommen und a durch -1/4 ersetzt.
