Matheklausur steht an, und ich brauche Hilfe beim Verständnis dieser Aufgabe der Kettenregel?
Im Verlauf eines Jahres ändert sich die Tageslänge. Für die Stadt Stockholm kann sie modellhaft beschrieben werden durch eine Funktion L mit Dabei ist t die Zeit in Monaten ab dem 21. März und L(t) die Tageslänge in Stunden. Wann ändert sich in Stockholm die Tageslänge am schnellsten? Wie groß ist die Tageslänge dann?
2 Antworten
Also das wichtigste ist, es die Funktion abzuleiten. Ableitung ist ein anderes Wort für Änderungsrate, deshalb brauchst du die zur Lösung der Aufgabe.
Zur Ableitung brauchst du die Kettenregel, da es sich um eine verkettete Funktion handelt. Die Kettenregel lautet: Äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Wie man die anwendet, müsstest du eigentlich wissen. Bei der äußeren Ableitung schleppt man "das ganze Zeug innendrin" mit, das ist wichtig. Die 6,24 als Faktor bleiben beim Ableiten erhalten, die 12 entfällt, da die Ableitung von Konstanten immer 0 ist.
Um Herauszufinden, wann sich die Tageslänge am schnellsten ändert, musst du das Maximum der Funktion bestimmen. Dazu setzt du die erste Ableitung gleich null. Dann setzt du das Ergebnis in die zweite Ableitung ein (die du dann auch noch bilden musst). Wenn da dann etwas kleiner als null herauskommt, ist es ein Maximum und kein Minimum.
Um dann herauszufinden, wie lang die Tageslänge ist, setzt du dein Ergebnis in die "normale" Funktion / Ausgangsfunktion ein.
Ich hoffe, dass dir das hilft :)
Im Grunde ist nur interessant, wie die Ableitung von sin((π/6)t) aussieht.
Die meist etwas komplizierte Darstellung der Kettenregel ist leicht zu begreifen, wenn man sich vorstellt, das für die äußere Ableitung die ganze Klammer ein t oder x wäre.
Dann heißt die ganze Ableitung nämlich
Klammer ' mal innere Ableitung.
Bei dir ist bei f(t) = sinus Klammer die äußere Ableitung
f'(Klammer) = cos Klammer, also cos (π/6 * t)
Die innere Ableitung ist schlicht: π/6 (bei hoch 1 bleibt das t weg).
Die additive 12 verschwindet beim Ableiten sowieso.
Der Faktor 6,24 wird einfach durchgezogen.
Daher ein bisschen sortiert
f'(t) = 6,24 * π/6 * cos (π/6 * t)
Wenn man will, kann man 6,24 * π/6 auch noch ausrechnen. Es sind ja nur Zahlen.
Wie davon ein Maximum zu bilden ist, wirst du ja sicher wissen.
Wenn du das t dann kennst, brauchst du es für die Länge des Tages auch nur noch in L einzusetzen.