Extremwertbedingung?
Ich schreibe am Ende der Woche eine Matheklausur und habe dementsprechend als Übung versucht, einige Extremwertaufgaben zu lösen. Bei einer Aufgabe hatte ich jedoch das Problem,dass ich nicht auf die Bedingungen bekommen bin. Hat jemand vielleicht da eine Idee und könnte mir helfen?
Aufgabe : Zwischen Flugplatz, Wald und nördlichem Flussrand, der für 0 =/ < x =/< 12 durch die Funktion f(x)= 1/12 x^2 -x +5 beschrieben wird, soll ein achsenparalleles, dreieckiges Gelände A für die Flughafenfeuerwehr angelegt werden . Wie muss der Anschlusspunkt P ( x/ f(x)) am Fluss gewählt werden, damit der Platz A möglichst groß wird?
3 Antworten
A = ½(12 - x)(5 - y) = ½(12 - x)(5 - x²/12 + x - 5) = ½(12 - x)(x - x²/12) =
(12 - x)(12x - x²)/24 = x(12 - x)(12 - x)/24 = x(12 - x)²/24 = x(144 - 24x + x²) =
(x³ - 24x² + 144x)/24
A’ = (3x² - 48x + 144)/24 = (x² - 16x + 48)/8 und A’ = 0 → x² - 16x + 48 = 0 usw.
Ich nehme an, du willst selbst ein bisschen rechnen, deshalb erst einmal die Hinweise:
Die Fläche ist ein rechtwinkliges Dreieck und hat deshalb die Formel
a * b / 2.
Das heißt, du kannst Abschnitte in x und y dafür heranziehen und multiplizieren. x unter der Funktion ist dann maßgeblich für eine Seite, f(x) als andere Seite davon abhängig. x * f(x) / 2 repräsentiert dann alle Flächen des Dreiecks. Das ist eine Funktion, die man nach x ableiten kann. Und schon hast du deine extreme Stelle, die nur ein Maximum sein kann.
Ich habe den Thread auf meinem Merkzettel. Möglicherweise teilst du uns ja Ergebnis oder Zwischenergebnis, wenn es noch was zu fragen gibt, hier in einem Kommentar mit.
Für den x-Wert musst du natürlich (12-x) heranziehen. Das ist wohl klar. Wenn du x direkt nimmst, hast du die Spitze des Dreiecks links, und das ist ja nicht vorgesehen.
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Hätte ich gar nicht mehr darauf hinweisen müssen. Wurde ja inzwischen schon mitgeteilt.
Naja, da die Fläche sich ja nach rechts ausdehnt (es ist ja nur ein Beispiel gezeichnet), ist die eine Seite immer (12 - x), die andere (5 - y). Das musst du natürlich zunächst berücksichtigen. Die Fläche ist dann immer
(12 - x) * (5 -y) / 2 Dreiecksfläche
für y nimmst du natürlich die Funktion f(x), rechnest das Ganze aus und hast eine Flächenfunktion A(x). Und diese leitest du halt ab.
A'(x) = 0 bringt den Extremwert.
Die Nebenbedingung ist in der Flächenformel versteckt.
Es geht ja darum die Fläche des Dreiecks auszurechnen, dazu brauchst du 2 Seiten.
xP: x-Wert von Punkt P
Die eine Seite - ich nenne sie mal a - geht von xP bis 12, also a=12-xP.
Die zweite Seite b geht von f(xP) bis 5, also b=5-f(xP).
Das fügst du jetzt zu einer Funktion zusammen und berechnest den Extremwert :)
lautet dann die Zielfunktion : A: ((12-x) *( 5-1/2^2-x+5)) /2
und umgeformt : 1/2 x^3 -7x^2-12x+120
Oder hab ich das jetzt wieder falsch verstanden?
Bei (5 - y) musst du das ganze f(x) in eine Klammer mit einem Minus davor setzen. In der Klammer ist dann jedes Vorzeichen zu verändern!
Es täuscht dich nicht alles, sondern gar nichts.
Und die Lösungen dafür {4 ; 12} sind auch gut für Maximum und Minimum, welches ja wirklich bei 12 liegen muss.
Nur müsste der FS A'(x) noch bilden.
Das ist mit etwas Rechnerei verbunden.
Vor allem: ausmultiplizieren! Die Produktregel dürfte die Hölle werden!
Das scheint mir doch nicht sooo schwer zu sein :-)
Maximieren musst Du den Flächeninhalt eines Dreiecks; die Formel dürfte klar sein.
Als Grundseite nehme ich mal die Seite am Flughafen. Diese hat die Länge (12-x).
Die entsprechende Höhe ist das senkrechte Stück vom Punkt P zum Flugplatzgelände. Da P auf dem Graphen von f liegt, hat die Strecke von P zur x-Achse die Länge f(x); also hat die Strecke von P zum Flugplatzgelände die Länge 5-f(x).
Alles weitere schaffst Du selber?
Na, ein bisschen verzwickt ist es ja schon. Üblicherweise liegen solche Dreiecke immer auf den Achsen. Dann ist es natürlich leicht.
Entschuldigung,wenn ich jetzt so dumm frage, aber wie meinen sie jetzt den Satz mit dem x und y Werten heranziehen und multiplizieren?
Also für die Nebenbedingung wurde im Unterricht erwähnt, dass man für die zweite Variabel einfach die Funktionsgleichung des Flusses einsetzen kann. Somit wäre dann die NB : 1/12 x^12 -x +5
Nur ich komm nicht auf die Idee wie ich die Hauptbedingung kommen sollte. Zu Anfang hatte ich die Idee die obere Kathete auszurechnen, was dann (12-5) ergeben würde. Damit hätte man ja schonmal den Punkt ( 7/5). Dan müsste man ja nur noch 5-x berechnen, womit man den Punkt P erhalten würde. Aber dies würde ja nicht sinnvoll für die Aufgabe sein.