Wie berechnet man die maximale momentane/lokale Änderungsrate?
Hi Liebe Gutefrage-Community,
ich schreibe bald eine Matheklausur und beim Lernen bin ich auf folgende Aufgabe in meinem Buch gestoßen:
Ein großer Wassertank eines Gartenbaubetriebs wird durch Regenwasser gespeist. Bei einem heftigen lang andauernden Regen kann die momentane Zuflussrate des Wassers durch die Funktion z mit:
z(x)=1,16x^3 - 26,1x^2 + 148,3x
(x in Stunden nach Beginn des Regens, z(x) in Liter pro Stunde) beschrieben werden.
Eine Unteraufgabe lautet dazu:
Zu welchem Zeitpunkt nimmt die momentane Zuflussrate am stärksten ab?
Wie muss ich da vorgehen?
Mfg Philipp
2 Antworten
Die momentane Änderungsrate wird durch die erste Ableitung f'(x) beschrieben. In diesem Fall suchst du nach dem Minimum dieser Funktion. Das Minimum einer Funktion findest du allgemein, indem du die Nullstellen der Ableitung suchst. In diesem Fall ist die Funktion, deren Minimum gesucht wird, bereits die Ableitung. Du musst also die Ableitung der Ableitung ermitteln (diese wird auch als zweite Ableitung bezeichnet und als f''(x) geschrieben).
Dann setzt du diese 2. Ableitung mit 0 gleich, um die Nullstellen zu erhalten.:
f''(x) = 0
Wenn du diese Gleichung auflöst, wirst du einen oder mehrere x-Werte erhalten. Dann setzt du einfach jeden dieser Werte f'(x), also in die erste Ableitung, ein. Der x-Wert, bei dem das Ergebnis am niedrigsten ist, ist die gesuchte Stelle.
In Anwendung auf die konkrete Aufgabe:
z(x) = 1,16x³ - 26,1x² + 148,3x
z'(x) = 3,48x² - 52,2x + 148,3
z''(x) = 6,96x - 52,2
Nullstelle von z''(x): 7,5
Da es nur eine Nullstelle gibt, müssen keine x-Werte verglichen werden.
Einsetzen in z(x)
z(7,5) = 133,5
Der gesuchte Punkt ist also P(7,5|133,5)
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe, aber es heißt ja "Zu welchem Zeitpunkt nimmt die momentane Zuflussrate am stärksten ab?".
Die momentane Zuflussrate ist gewissermaßen die Ableitung der Wassermenge im Tank. Gefragt ist nach der Abnahme, also der Ableitung dieser Zuflussrate (also der zweiten Ableitung der Wassermenge). Um deren Minimum zu finden, muss dann noch eine Ableitung ermittelt werden, das ist dann die zweite Ableitung der Zuflussrate, und die dritte Ableitung der eigentlichen Wassermenge.
Hi,
da deine Funktion die momentane Zuflussrate in Liter pro Stunde angibt und du berechnen sollst, wann die Zuflussrate am stärksten abnimmt, musst du einfach nur den Tiefpunkt der Ableitung ausrechnen.
Reicht dir das an Informationen (also weißt du, wie du bei einer Tiefpunktberechnung vorgehst?) ?
Sonst erkläre ich das gerne nochmal ausführlicher ;)
Erstmal danke für deine Antwort ^^
Deinen Rechenweg kann ich auch nachvollziehen, nur jetzt ist die Ausgangsfunktion doch auch schon eine Ableitung (um die momentane Zuflussrate zu berechnen).
Reicht dann nicht eine weitere Ableitung, oder habe ich etwas falsch verstanden?