[Mathe] Trigonometrische Funktionen & Differentialrechnung?
Hallo liebe Matheexperten,
vom Thema Trigonometrische Funktionen geht es nun bei mir weiter mit dem Stoff zu der Differentialrechnung.
Ich freue mich, wenn mir jemand (absoluter Anfänger im Bereich Differenzieren) die Aufgaben erklären (Ansatz zur Lösung geben) oder sogar rechnen kann, damit ich es schaffe, selbstständig weitere Aufgaben zu rechnen um das Thema voll und ganz zu verstehen. 💯
Ich bin wirklich unendlich dankbar an die, die hier anderen einfach so in ihrer Freizeit mit ihrem Wissen, in dem Fall der Mathematik, weiterhelfen 💚💪
(Zudem schaue ich natürlich auch YouTube Videos zu Mathe Themen von zum Beispiel Lehrerschmidt, Mathe - simpleclub und Mathe by Daniel Jung.)
Frage 1:Bei dieser Aufgabe zu Trigonometrischen Funktionen komme ich nicht auf den Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen kann:
Bei dieser Aufgabe habe ich a) und b) bereits bearbeitet aber für c) und d) fehlt mir leider jene Idee:
In dieser Aufgabe geht es um einen Meteoriten der in Arizona eingeschlagen ist und um ein Auto, wobei die Frage ist, ob es mit der Möglichkeit, 115% Steigung zu erklimmen, aus dem Krater herausfahren kann. Hier fehlt mir ebenfalls ein Ansatz zur Lösung:
Mit unendlichen dankbaren Grüßen
für Lösungsansätze oder sogar rechnerischen Hilfen 🙏
4 Antworten
Frage 1)
Das geht genauso, wie beid er Bestimmung einer Geraden. Man hat zwei Unbekannte (a und b) und als Informastion 2 Punkte. Die muss man einfach in die Gleichung einsetzen und kriegt damit a und b raus.
Punkt 1: bei t = 3 (Monaten) ist f(t) = 16,5 (Stunden)
Punkt 2: f(9) = 8 (Der 21.12. liegt 9 Monate nach dem 21.03.)
Einsetzen:
16,5 = a sin(π/6 * 3) + b (I)
8 = a sin(π/6 * 9) + b (II)
I - II:
8,5 = a sin(π/6 * 3) - a sin(π/6 * 9)
8,5 = a(sin π/2 - sin 3π/2) = a( 1 - (-1)) = 2a
a = 8,5 / 2 = 4,25
Zwischenergebnis:
f(t) = 4,25 sin(π/6 * 3) + b
P1 einsetzen:
16,5 = 4,25 sin(π/6 * 3) + b
b = 16,5 - 4,25 sin(π/6 * 3) = 16,5 - 4,25 * sin π/2 = 16,5 - 4,25 = 12,25
Ergebnis:
a = 4,25
b = 12,25
f(t) = 4,25 sin(π/6 * t) + 12,25
Probe mit Funktionenplotter:
...passt.
21.04 ⇒ t = 1
f(1) = 4,25 sin(π/6 * 1) + 12,25 = 14,375 h
06.07⇒ t = 4
f(4) = 4,25 sin(π/6 * 4) + 12,25 = 15,93 h
Auch das stimmt mit dem Graphen überein
Gut aufgepasst...auf die Tage hatte ich gar nicht geachtet.
21.03 bis 06.07 sind 3 Monate und 15 Tage, also 3,5 Monate. Du musst also 3,5 statt 4 einsetzen.
Ach, jetzt fällt mir auch noch eine gute Ausrede ein: das habe ich absichtlich gemacht um zu testen, ob du die Rechnung auch wirklich nachvollziehst. ;-)
Frage 2)
Jetzt kommen wir zum Differential.
Du erinnerst dich:
Bei einer Geraden ist deren Steigung m. Die Steigung m errechnet man mit dem Differenzquotienten:
m = ∆y / ∆x
m ist eine Konstante.
Bei allen Funktionen, die keine Gerade sind, interessiert ebenfalls oft die Steigung. Diese ist aber keine Konstante m mehr, sondern selber wieder eine Funktion.
Mit dem Differenzquotienten kommt man da aber nicht weit. Je größer man ∆x und ∆y wählt, umso größer ist der Fehler. Exakt wird es erst, wenn ∆x und damit auch ∆y gegen Null gehen, wenn die Differenz also gegen 0 geht. Eine Differenz, die gegen Null geht, nennt man Differenzial. Das bezeichnet man dann nicht mehr mit einem großen Delta ∆, sondern mit einem kleinen d oder einem kleinen delta δ. Der Unterschied zwischen einem vollständigen Differential dund einem partielllen Differential δ kommt aber erst beim Studium dran.
Im Gumminasium bis zum Appretur kommt nur d dran. Erst an der Unität im ersten Silvester kommt dann auch δ dran.
Leider gibt es viele verschiedene Begriffe für fast dasselbe, die nur kleine Unterschiede in der Bedeutung, aber denselben Zahlenwert haben.
Ähnliche Begriffe mit fast derselben Bedeutung sind:
1) Differential einer Funktion, 1. Ableitung einer Funktion, f'(x), Steigung einer Funktion, Funktion der Änderungsrate
2) Steigung an der Stelle x1, lokale Änderungsrate bei x1, momentane Änderungsrate bei x1, f'(x1), Steigung der Tangente bei x1, Differential an der Stellle x1
3) mittlere Änderungsrate im Intervall [x1, x2], Sekantensteigung (Geradensteigung) zwischen x1 und x2, Differenzquotient (y2 - y1)/(x2 - x1)
Nun zur Aufgabe:
a) mittlerer Kostenzuwachs mKz im Intervall [5, 15]
= ( f(15) - f(5)) / (15 - 5)
f(5) = 5^2 + 3*5 + 100 = 140
f(15) = 15^2 + 3*15 + 100 = 370
mKz = (370 - 140 / 10 = 23,0
Ergebnis: der mittllere Kostenzuwachs beträgt 23 Euro pro Stück
b)
Wertetabelle:
Graph:
c) Die momentane Änderungsrate bei x = 5 entspricht der Tangentensteigung an dieser Stelle. Da muss man nach Gefühl die Tangente an die Kurve malen und dann deren Steigung ablesen:
y(4) = 125
y(10) = 210
m = (210 - 125) / (10 - 4) = 14,1
Ergebnis: die momentane Änderungsrate (= Kostenzuwachs) bei x = 5 beträgt 14,1 Euro pro Stück
d)
Dazu müssen wir die Funktion ableiten:
f'(x) = 2x + 3
und x = 5 einsetzen:
f'(3) = 2 * 5 + 3= 13
Ergebnis: Der Kostenzuwachs beträgt 13,- pro Stück
Ergebnis: der Kostenzuwachs
Unglaublich deine Mühe die du investierst. Du musst mir bald echt mal dein PayPal geben… Ich kann mich einfach nicht genug bedanken. Schreibe gerade die Frage 1 schriftlich auf 💪💚
Du musst mir bald echt mal dein PayPal geben
LOL
Ich glaube, wenn ich dir den Stundensatz nennen würde, den ich meinen Kunden in Rechnung stelle, würdest du umfallen.
a) mittlerer Kostenzuwachs mKz im Intervall [5, 15]
= ( f(15) - f(5)) / (15 - 5)
f(5) = 5^2 + 3*5 + 100 = 140
f(15) = 15^2 + 3*15 + 100 = 370
mKz = (370 - 140 / 10 = 23,0
Ergebnis: der mittllere Kostenzuwachs beträgt 23 Euro pro Stück
Bei mir auf dem Blatt habe ich
m = … hingeschrieben und du mKz (mittlerer Kostenzuwachs).
Meint beides dasselbe oder?
Und damit rechnet man dann die Sekantensteigung anhand des Differenzenquotienten aus oder?
Warum ist die Sekantensteigung gleichzeitig auch der mittlere Kostenzuwachs?
Meint beides dasselbe oder?
Ja. Welchen Namen man dem Kind gibt ist zweitrangig.
Und damit rechnet man dann die Sekantensteigung anhand des Differenzenquotienten aus oder?
Korrekt.
Warum ist die Sekantensteigung gleichzeitig auch der mittlere Kostenzuwachs?
Der mittlere Kostenzuwachs ist gleich der mittleren Änderungsrate (siehe verschiedene Begrifflichkeiten). "Zuwachs" = Änderung. Die mittlere Änderungsrate ist nun mal so definiert:
Die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten P und Q einer Funktion ist die Steigung der Sekante s, welche durch diese beiden Punkte der Funktion läuft.
Quelle: https://www.studysmarter.de/schule/mathe/ableitungsregeln/mittlere-aenderungsrate/
f(5) = 5^2 + 3*5 + 100 = 140
f(15) = 15^2 + 3*15 + 100 = 370
Muss man das auch k(5) und k(15) nennen weil oben (in der Aufgabe) „K(x) = x^(2) + 3x + 100“ steht? Oder ist das egal?
Ah ja. f(x) ist nicht falsch, aber wenn die Funktion schon einen Namen hat, also K(x), ist es besser, den zu nehmen. Als Fehler dürfte man das aber nicht anstreichen. Dann aber schon richtig und Groß K ;-)
c) Die momentane Änderungsrate bei x = 5 entspricht der Tangentensteigung an dieser Stelle. Da muss man nach Gefühl die Tangente an die Kurve malen und dann deren Steigung ablesen:
y(4) = 125
y(10) = 210
m = (210 - 125) / (10 - 4) = 14,1
Ergebnis: die momentane Änderungsrate (= Kostenzuwachs) bei x = 5 beträgt 14,1 Euro pro Stück
Bei c) habe ich mit dem Geodreieck die Länge des Steigungsdreiecks gemessen
(also delta x und delta y berechnet) ist das hier ein großes Delta oder kleines delta? Den Unterschied habe ich auch noch nicht so wirklich verstanden.))
und dann mal die Menge gemacht, die pro cm auf der x bzw. y-Achse ist.
Hatte dann 80/6 = 13,33 Euro.
d)
Dazu müssen wir die Funktion ableiten:
f'(x) = 2x + 3
und x = 5 einsetzen:
f'(3) = 2 * 5 + 3= 13
Ergebnis: Der Kostenzuwachs beträgt 13,- pro Stück
Ergebnis: der Kostenzuwachs
Bei d) verstehe ich nicht wie du auf „f‘(x) = 2x + 3“ gekommen bist. Das mit dem „'„ und das es etwas mit dem ableiten zu tun hat habe ich schonmal gehört (verstehe es leider noch nicht) aber wie man auf „= 2x+3“ kommt fällt mir nicht ein…
Danke dir so sehr 💚💪😊
(also delta x und delta y berechnet) ist das hier ein großes Delta oder kleines delta?
Das muss ein großes Δ sein, da das ja echte Differenzen sind, die du gemessen hast. Erst wenn die Differenzen gegen 0 gehen, also unendlich klein werden, wird daraus ein kleines d, also ein Differential.
Das mit dem „'„ und das es etwas mit dem ableiten zu tun hat habe ich schonmal gehört
Ach, habt ihr Ableitungen noch nicht gehabt? Hmm, dann geht das nicht. Habt ihr denn schon den Differentialquotienten gehabt? Das wäre auch eine Lösungsmöglichkeit, allerdings eine exakte. Nur nebenbei: freue dich auf die Ableitungen und die darauf folgende Kurvendiskussion. Das muss man nur einmal begreifen und nicht viel lernen, um sehr gute Noten zu schreiben.
Dann gibts noch als Näherungslösung praktisch eine Art Steigungsdreieck auszurechnen:
ΔK = (f(6) - f(5)) / (6 - 1) = (154 - 140) / 1 = 14 Euro/Stück
Ableiten haben wir gehabt und es geht die nächsten Stunden weiter ins Thema aber ich verstehe es noch nicht (keiner aus der Klasse versteht es bis jetzt).
Kannst du mir den Aufgabenteil d) mit ableiten erklären? 😊
Ok, wir haben die Funktion K:
K(x) = x^2 + 3x + 100
Eine Summe kann Stück für Stück abgeleitet werden und das ist ganz einfach:
alte Hochzahl vorziehen und die neue um 1 verringern.
also:
x^2 ableiten: die 2 vorziehen und die 2 oben um 1 verringern führt zu 2x^1 = 2x
3x = 3x^1: alte Hochzahl (1) vorziehen und die neue Hochzahl um eins verringern: 1 * 3 * x^0 = 3 * 1 = 3
Absolute Zahlen ohne x fallen ganz weg weil:
100 = 100 * 1 = 100 * x^0....und wenn man die 0 vorzieht, wird das Ganze zu 0.
Daher:
K'(x) = 2x + 3
K'(5) = 10 + 3 = 13 Euro/Stück
Der Apostroph bedeutet, das ist abgleitet
Ich gebe alles, weiterhin gute Noten zu schreiben :-) Kann es dann hoffentlich bald im Schlaf 💪
Nächste Woche Weisheitszahn Op - habe schon Angst 😧… Morgen ist die Besprechung wie es abläuft/ mit oder ohne Sedierung,…
Nächste Woche Weisheitszahn Op - habe schon Angst
Augen zu und durch. Hatte vor einiger Zeit eine Wurzelop an einem Eckzahn...aber nur mit örtlicher Betäubung. Ein Indianer kennt keinen Schmerz und das ist auch bald vorbei.
K(x) = x^2 + 3x + 100
Beim ableiten tut man ja so wie du sagtest den Exponent vorziehen und ihn gleichzeitig um 1 verringern. Bei der 100, die ja am Ende steht gilt die Summenregel (Wird als einzelner Teil behandelt). Aber warum wird 100^(1) nicht zu 1 * 100^(0) = 1 sondern zu 0? Habe das im Video auch gesehen das es zu 0 wird, nur ist es mir nicht klar geworden, warum das so ist 🤔
Ok, ich machs mal ausführlich:
1)Ableiten von 100:
Damit wir das ableiten können, brauchen wir ein x. Das kriegen wir mit dem Potenzgesetz: irgenwas hoch 0 ergibt 1:
x^0 = 1
sowie dem Satz von der neutralen Zahl 1:
1 * x = x
Wir können also schreiben:
100 = 100 * 1= 100 * x^0
und nun könnnen wir ableiten, indem wir die alte Hochzahl vorziehen und die neue um 1 verringern:
d/dx (100 * x^0) = 0 * 100 * x^(-1)
d/dx ist die Schreibweise dafür, dass ein Term abgeleitet wird.
Jetzt kommt der Satz vom Nullprodukt: Ist bei einem Produkt ein Faktor = 0, wird das ganze Produkt zu 0:
0 * 100 * x^(-1) = 0
Daraus resulltiert die Ableitungsregel: ein Absolutglied (also eine Zahl ohne x) wird abgeleitet immer zu 0
2) Ableiten von 3x:
Potengesetz: eine Zahl hoch 1 ergibt die Zahl:
x^1 = x
Damit können wir schreiben:
3x = 3x^1
und leiten ab:
d/dx (3x^1) = 1 * 3 * x^0 = 1 * 3 * 1 = 3
und daraus resultiert die Ableitungsregel:
beim Ablleiten eines linearen Terms (x steht ohne Hochzahl da) entfällt das x. Der Rest beibt unverändert stehen.
Bemerkung: Dieser Herleitung der beiden Ableitungsregeln ist Hintergrundwissen, das man wissen sollte, aber später nicht mehr wissen muss. Da geht man beim Ableiten einfach so vor, dass man Absolutglieder einfach wegfallen lässt und bei linearen Gliedern einfach das x streicht.
Daher ergibt:
f(x) = x^2 + 3x + 100 = x^2 + 3x^1 + 100x^0
abgeleitet:
f'(x) = 2x^1 + 1*3x^0 + 0 * 100x^-1 = 2x + 3
d/dx ist die Schreibweise dafür, dass ein Term abgeleitet wird.
Das mit der Schreibweise d/dx ist mir noch nicht bekannt - wir haben einfach beim ableiten anstatt z.B. f(x) f‘(x) geschrieben - oder ist d/dx etwas anderes?
Daher ergibt:
f(x) = x^2 + 3x + 100 = x^2 + 3x^1 + 100x^0
abgeleitet:
f'(x) = 2x^1 + 1*3x^0 + 0 * 100x^-1 = 2x + 3
Das habe ich ganz verstanden und auch aufgeschrieben alles 💪 Durch deine Hilfe und YouTube Videos hab ich das jetzt verstanden 😊
Du hast mir wirklich enorm geholfen. Ohne Beantwortung der Fragen die man hat und wenn das Thema immer weiter und weiter geht baut man sonst Lücken auf, die schwer wieder zu füllen sind. Ich bin Dir unendlich dankbar. 😌💚
Bei dem Link von der folgenden Frage wurde mir bereits ein bisschen geholfen, habe aber noch 2 Fragen in die Ergänzung der Frage geschrieben, vielleicht magst du dir das ja anschauen wenn du Lust hast 💪
https://www.gutefrage.net/frage/grafisches-differenzieren-ableitungen---herleitung
Ohne Beantwortung der Fragen die man hat und wenn das Thema immer weiter und weiter geht baut man sonst Lücken auf, die schwer wieder zu füllen sind.
Wahrscheinlich kannst du im Moment nur annähernd abschätzen, wie wertvoll diese Erkenntnis ist. Spätestens in einem anspruchsvollen Studium merken die vielen Durchfaller leider oft zu spät, dass sie das besser beachtet hätten.
Du hast mir wirklich enorm geholfen.
Das freut micht.
Das mit der Schreibweise d/dx ist mir noch nicht bekannt - wir haben einfach beim ableiten anstatt z.B. f(x) f‘(x) geschrieben - oder ist d/dx etwas anderes?
Das ist schon ok so. Bei Funktionen kennzeichnet man die Ableitungen mit einem Apostroph. Man hat aber nicht immer Funktionen, sondern manchmal nur einzelne Terme, die man ableiten will. Da gibts dann keine Funktion, an die man das ' dranhängen kann.
Genau das war bei meinen Beispielen der Fall "Wie leitet man 3x ab?". Da hat man kein f davor. In diesem Fall kennzeichnet man die Rechenoperation "Ableiten" mit d/dx. Das ist wie andere Operatoren fürs Multiplpizieren, potenzieren oder hier eben differenzieren. Gelesen wird d/dx : de nach de-ix , und inhaltlich bedeutet dieser Operator: bilde das Differenzial mit der Variablen x..oder eben leite nach x ab (ableiten ist einfach nur das deutsche Wort für den Fachausdruck differenzieren). "Ableitung"ist das deutsche Wort für "Differential".
Frage 3)
Hier wählen wir die Grafische Lösung. Rechnerisch gehts sowieso nicht, weil die Funktion nicht gegeben ist.
Grapfisch legen wir die Tangente "nach Gefühl" an die steilste Stelle, was offensichtlich der Kraterrand ist.
Nun lesen wir die Werte für die Tangente ab, um ihre Steigung ausrechnen zu können:
x = 150; y = 0
x = 400; y = 300
m = ∆y / ∆x = 300 / 250 = 1,2 = 120 %
Ergebnis: das Fahrzeug macht kurz vorm Kraterrand schlapp, da dort die Steigung über 115% liegt.
Jetzt bin ich aber enttäuscht, dass ich für Frage 2 und 3 keine "hilfreichste Antwort" erhalten habe. ;-)
Habe deswegen auch ein schlechtes Gewissen… 😢 leider funktioniert das nicht 🤭😜
Ich weiß....das ist nun mal die Eigenart, dass der Superlativ (hilfreichste) immer ein Einzelfall ist, sonst wärs ja kein Superlativ. ;-)
Sind mir zu viele Aufgaben auf einmal.
Also nur zu Frage 1:
Kommentar Zeit in Monaten ist absurd, weil es die einzige Zeiteinheit ist, die keine gleich großen Teile hat. Daher nehme ich mal t in Tagen.
Wenn du also eine Schwingung hast und bei den angegeben Tagen jeweils ein Maximum, dann kannst du die Schwingung darauf eichen.
Bedenke an welchem Punkt ist ein Sinus maximal (16,5h) und wann minimal (8h)
Einmal rum ist 2Pi - Bei welchem t muss der sinus maxi- bzw. minimal werden?
Einsetzen auflösen kontrollieren.
Vom 21. März bis zum 06. Juli sind es ja nicht genau 4 Monate, sondern 15 Tage weniger. Muss man dann für „t“ eine Kommazahl nehmen mit 3,… ? (Ganz unten bei deinem Beitrag)