Dreiecksberechnung trigonometrischen Mittel?
In Mathe behandeln wir gerade die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks mit trigonometrischen Mitteln.
Und haben jetzt zwei Aufgaben bekommen.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
a) b=7,0 cm ; alpha = 35° ; beta = 52°
b) b=4,0 cm ; beta = 28° ; gamma = 33°
Und da wir davor nur Dreiecke mit SWS berechnet haben, habe ich keinen Lösungsansatz für diese Aufgaben...
Vielen Dank im Vorraus für die Hilfe
3 Antworten
Geg.: b = 7,0 cm ; alpha = 35°
Ges.: hc ; c1
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hc = b * SIN(alpha)
hc = 7 * SIN(35)
hc = 4,015035 cm
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c1 = b * COS(alpha)
c1 = 7 * COS(35)
c1 = 5,734064 cm
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Geg.: hc = 4,015035 m ; beta = 52°
Ges.: c2 ; c
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c2 = 4,015035 / TAN((beta)
c2 = 4,015035 / TAN(52)
c2 = 3,136889 cm
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c = c1 + c2
c = 5,734064 + 3,136889
c = 8,870953 cm
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Geg.: c ; hc
Ges.: A
A = c * hc / 2
A = 8,870953 * 4,015035 / 2
A = 17,8086 cm²
zu a)
Allg. Flächenformel mittels Winkel:
(1) A = (1 / 2) * a * b * sin(γ)
Berechnung Seite a mittels Sinus:
(2) a = h_c / sin(β)
Berechnung Höhe auf c mittels Sinus:
(3) h_c = b * sin(α)
(3) in (2) einsetzen:
(4) a = b * sin(α) / sin(β)
Winkel Gamma bestimmen:
(5) γ = 180° - α - β
(4) und (5) in (1) einsetzen:
A = (1 / 2) * (b * sin(α) / sin(β)) * b * sin(180° - α - β)
A = (1 / 2) * b² * sin(α) * sin(180° - α - β) / sin(β)
A = (1 / 2) * 7² * sin(35°) * sin(180° - 35° - 52°) / sin(52°)
A = 17,81 cm² (auf 2 Nachkommastellen gerundet)
Wenn SWS bekannt ist, dann kann man eine zweite Seite mit dem Sinussatz ausrechnen, z.B. bei a)
a / sin(Alpha) = b / sin(Beta).
Den benögten Winkel Gamma erhält man über die Innenwinkelsumme im Dreieck.