Mathe Stochastikaufgabe (Musterlösung)?
Ich lerne gerade auf eine Mathe Klausur und wollte fragen, ob mir vielleicht jemand eine Musterlösung zu dieser Aufgabe machen könnte. Danke im Voraus :)
Ein Hersteller von Fliesen hat erfahrungsgemäß 10% Ausschuss. Ein Großabnehmer einigt sich mit dem Hersteller auf folgende Abnahmeregel: Eine Sendung geht sofort zurück, wenn in einer Stichprobe von 20 Fliesen mehr als 4 Fliesen beschädigt sind. Sind 3 oder 4 Fliesen beschädigt, so wird eine zweite Stichprobe vom Umfang 50 entnommen. Sind in dieser mehr als 5 Fliesen beschädigt, wird die Sendung endgültig zurückgeben.
a) Mit welchher Wahrscheinlichkeit muss der Hersteller mit Rücksendung der Fliesen rechnen? b) Der Hersteeller will das Risiko einer Rücknahme senken. Dazu soll die Regel der zweiten Stichprobee bezüglich der Anzahl der beschädigten Fliesen abgeändert werden. Wie muss die Änderung aussehen, damit die Wahrscheinlichkeit für eine Rücksendung unter 6% liegt.
1 Antwort
Hallo,
die Antwort auf den ersten Teil von Aufgabe a) findest Du am einfachsten, wenn Du eine Tabelle hast, in der die Summenfunktion der Binomialverteilung aufgelistet ist.
Hier schlägst Du einfach unter n=20, k=4 und p=0,1 nach, bekommst als Ergebnis 0,9568 angezeigt und ziehst das von 1 ab: 0,0432 oder 4,32 %.
Der längere - aber auch interessantere - Weg ist natürlich, diesen Wert selbst auszurechnen.
Das geht, wenn Du einen handelsüblichen Taschenrechner oder gute Kenntnisse im schriftlichen Rechnen besitzt.
Wohlan denn!
Die Rahmenbedingungen: 10 % der Fliesen sind erfahrungsgemäß fehlerhaft.
Aus einer unbestimmten Menge von Fliesen werden 20 als Stichprobe ausgesucht. Sind mehr als vier Fliesen defekt, wird die Ware zurückgegeben.
Zu berechnen also ist die Wahrscheinlichkeit, daß mehr als vier Fliesen bei einem angenommenen Ausschuß von 10 % defekt sind.
Zunächst einmal: Es gibt eine Formel, mit der man berechnen kann, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, daß eine bestimmte Anzahl von Fliesen unter den genannten Bedingungen defekt ist. Allerdings spuckt diese erst einmal nur einen Wert aus.
Du müßtest demnach die Wahrscheinlichkeit für 5 defekte Fliesen berechnen, dann die für 6, für 7, für 8, bis Du dann endlich bei 20 angelangt bist. Danach mußt Du alle diese Einzelwerte addieren. Erst dann weißt Du, welche Wahrscheinlichkeit besteht, daß eine Anzahl zwischen 5 und 20 Fliesen defekt ist. Selbst mit einem Taschenrechner ist das etwas nervig.
Es geht aber auch anders:
Du drehst den Spieß einfach um und berechnest die Wahrscheinlichkeit dafür, daß höchstens vier Fliesen defekt sind. Das ist das Gegenereignis zu mindestens fünf defekte Fliesen und ergänzt diese Wahrscheinlichkeit zu 1, denn mit dem Ereignis: Höchstens vier Fliesen sind defekt und: mindestens fünf Fliesen sind defekt, hast Du alle Möglichkeiten abgedeckt, denn einer dieser Fälle tritt auf jeden Fall ein (Wahrscheinlichkeit also 1).
Nun mußt Du nur noch die Einzelwahrscheinlichkeiten für 0 bis 4 defekte Fliesen addieren, was ein erheblich geringerer Aufwand ist.
(Deshalb habe ich den Wert aus der Tabelle von 1 abgezogen). Die Summenfunktion summiert nämlich einfach die Wahrscheinlichkeiten von 0 an auf, so daß Du unter der Anzahl 4 automatisch die Summe von 0 bis 4 erhältst und Dir das Addieren sparst.
Hat Dein Rechner eine Summenfunktion, kann er das Gleiche wie die Tabelle leisten, wenn Du ihn mit der Formel fütterst und die Summe von 0 bis 4 eingibst. (Ein Rechner kann natürlich genauso fix die Summe von 5 bis 20 berechnen, dann hast Du das Ergebnis direkt und mußt es nicht mehr von 1 abziehen).
Die Formel lautet:
(n über k)*p^k*(1-p)^(n-k), die Du nur noch mit Zahlen füttern mußt:
n=20 (die Größe der Stichprobe), k=5 bis 20 (die Anzahl der Teile, die defekt sind) und p=0,1 (die Wahrscheinlichkeit, daß eine Fliese Ausschuß ist).
n über k ist dabei der Binomialkoeffizient, der ausgeschrieben so aussieht:
n!/(k!*(n-k)!) Er zeigt Dir, auf wieviele Arten Du k Elemente aus einer Menge von n Elementen auswählen kannst, wenn die Reihenfolge, in der die Elemente ausgesucht wurden, keine Rolle spielt. Beispiel: Lotto.
Es gibt 49 über 6 Möglichkeiten, aus 49 Zahlen 6 Zahlen zu ziehen (knapp 14 Millionen).
Das Ausrufungszeichen spricht man Fakultät aus. 4! ist gleich 1*2*3*4=24 usw.
Wenn Du Fakultäten durcheinander teilst, kannst Du wunderbar kürzen und mußt Dich nicht mit so furchtbar hohen Zahlen herumschlagen.
20 über 4 gleich 20!/(4!*16!) ist gleich (17*18*19*20)/(1*2*3*4), denn 16! kürzt sich direkt weg. Die 4 kannst Du gegen die 20 kürzen, die 2 und die 3 gegen die 18, so daß letztlich 17*3*19*5=4845 übrigbleibt.
Wenn der Rechner eine nCr-Taste besitzt, tippst Du 20 nCr 4 ein und bekommst als Ergebnis 4845.
Die Wahrscheinlichkeit für 0 defekte Fliesen liegt demnach bei
(20 über 0)*0,1^0*0,9^20 Wenn die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Fliese bei 0,1 liegt, liegt die für eine intakte Fliese bei 1-0,1=0,9.
Wenn 0 Fliesen defekt sein sollen, müssen die restlichen 20 intakt sein.
Du bekommst als Wahrscheinlichkeit für 0 defekte Fliesen 0,1216 oder
12,16 % heraus.
Für eine defekte Fliese rechnest Du (20 über 1)*0,1^1*0,9^19, weil es jetzt nur noch 19 intakte Fliesen sein können, wenn eine defekt ist usw, bis Du bei 4 defekten Fliesen angelangt bist. Die fünf Ergebnisse addieren und die Summe von 1 abziehen. Oder Du nutzt die Summenfunktion des Rechners und tippst ein: 1-Σ (x=0 bis x=4): (20 nCr x)*0,1^x*0,9^(20-x).
Für den zweiten Teil der Aufgabe berechnest Du die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 3 und für 4 defekte Fliesen.
Dieses Ergebnis multiplizierst Du mit der Wahrscheinlichkeit, in einer Stichprobe von 50 mehr als 5 defekte Fliesen zu finden, was nach demselben Prinzip wie eben nur mit anderen Zahlen funktioniert (auch hier geht es mit einer Tabelle am schnellsten). Multiplizieren mußt Du, weil nun das Zurückschicken von zwei Eregnissen abhängig ist: 1.: es werden 3 oder 4 defekte Fliesen in der ersten Stichprobe gefunden; 2.: in einer zweiten Stichprobe sind mehr als fünf Fliesen defekt.
Bei Aufgabe b experimentierst Du ein wenig herum, bis das Produkt aus erster und zweiter Stichprobe bei 0,06 liegt (die Wahrscheinlichkeit der ersten Stichprobe mit 3 oder 4 defekten Fliesen veränderst Du natürlich nicht; verändern tust Du nur die Anzahl der erlaubten defekten Fliesen bei der zweiten Stichprobe).
Herzliche Grüße,
Willy
Bei genauerem Nachdenken bezieht sich Aufgabe b) nur auf die zweite Stichprobe. Die Wahrscheinlichkeit, daß diese zur Rücksendung der Ware führt, soll höchstens 6 % betragen.
Dann muß k so gewählt werden, daß die Wahrscheinlichkeit, daß höchstens k defekte Fliesen dabei sind, bei mindestens 94 % liegt.
Du bildest also die
Summe von 0 bis k über (50 nCr k)*0,1^k*0,9^(50-k) und siehst, was Du für k einsetzen mußt, daß mindestens 0,94 herauskommt.
Oder Du siehst in der Tabelle der Summenfunktion der Binomialverteilung nach bei n=50, p=0,1 und siehst, ab welchem k das Ergebnis bei über 0,94 liegt (das ist bei k=8 der Fall).
Vergiß also das mit dem Produkt von erster und zweiter Stichprobe, das kann hier nicht gemeint sein.
Willy
Vielen, vielen Dank :D